'''משפט (קנטור- שרדר-ברנשטיין)''' אם <math>|B|\leq|A|</math> וגם <math>|A|\leq|B|</math> אז <math>|B|=|A|</math>
'''טענה.''' מתקיים ש <math>|\mathbb{N}|=|\mathbb{Z}|=|\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}|</math>.
הוכחה: נגדיר <math>f:\mathbb{Z}\to \mathbb{N}\times \{0,1\}</math> ע"י <math>f(z)=(|z|,sgn(z))</math>.פונקציה זו חח"ע ולכן
לפי קנטור ברנשטיין נקבל את הדרוש.
נביט באוסף הזוגות הסדורים בהם האיבר הימני שונה מאפס. קבוצה זו מוכלת באוסף כל הזוגות ולכן עוצמתה קטנה מעוצמת השלמים. נחלק אוסף זה ביחס השקילות <math>(a,b)~(x,y) \iff ay=bx</math> ונקבל קבוצה מעוצמה אף קטנה יותר. קבוצת המנה שקיבלנו היא כמובן נזכר ש <math>\mathbb{Q}</math> ולכן קיבלנו ש הם קבוצת מנה של <math>|\mathbb{QZ}|\leq |times \mathbb{ZN}|</math>.ולכן
בכיוון ההפוך, השלמים מוכלים ברציונאליים ולכן עוצמתם קטנה יותר ומכאן שעוצמת הרציונאליים שווה לעוצמת השלמים. <math>|\mathbb{N}|\leq |\mathbb{Q}|\leq |\mathbb{Z} \times \mathbb{N}|\leq |\mathbb{z}\times \mathbb{z}|=|\mathbb{N}| </math> לפי קנטור ברנשטיין נקבל ש <math>|\mathbb{Q}|= |\mathbb{N}|</math>
(השתמשנו במשפט קנטור-ברנשטיין: אם A וB קבוצות שעוצמתן קטנות זו מזו אזי עוצמתן שווה.)
עוצמתן של הקבוצות הנ"ל נקראת <math>\aleph_0</math>. קבוצות מעוצמה זו נקראות '''בנות מנייה'''.