כמו כן קל לראות שפונקציה זו חח"ע וגם על.
=== <math>\aleph_0 \cdot \aleph=\aleph</math> ===
טענה <math>B=\{2n-1 | n\in \mathbb{N}\}</math> קבוצת האי זוגיים היא בת מנייה
הוכחה : נגדיר פונצקיה <math>f:\mathbb{N}\to B </math> ע"י <math>n\mapsto 2n-1</math>
טענה <math>C=\mathbb{N}\cup\{0\}</math> קבוצת הטבעיים עם 0 בת מנייה
הוכחה : נגדיר פונצקיה <math>f:\mathbb{N}\to C </math> ע"י <math>n\mapsto n-1</math>
טענה <math>\aleph_0 \cdot \aleph=\aleph</math>
הוכחה: נגדיר <math>f:B\times C\mathbb{N}</math> ע"י <math>(x,k)\mapsto x\cdot 2^k</math>
טענה: f חח"ע
הוכחה נניח <math>f(x_1,k_1)=f(x_2,k_2)</math> אזי <math>x_1 \cdot 2^{k_1} =x_2 \cdot 2^{k_2}</math>
בה"כ <math>k1\leq k_2</math> ונחלק את שני האגפים ב <math>2^{k_1}</math>
נקבל כי<math>x_1 =x_2 \cdot 2^{k_2-k_1}</math>. כעת צד שמאל לא מתחלק ב 2 (כי <math>x_1</math> אי זוגי) ולכן גם אגף ימין לא מתחלק ב -2. הדבר יכול לקרות רק אם <math>k_2-k_1=0</math> או במילים אחרות <math>k_1=k_2</math>. כעת קיבלנו גם כי <math>x_1=x_2</math> ולכן בס"ה <math>(x_1,k_1)=(x_2,k_2)</math>.
טענה: f על
הוכחה: יהא n טבעי. יהיה <math>k\in C</math> כך ש <math>2^k</math> מחלק את n ואילו <math>2^{k+1}</math> אינו מחלק את n. כלומר החזקה הגדולה ביותר של 2 בפירוק של n למכפלת ראשונים זרים.
מהגדרת k נובע כי <math>\frac{n}{2^k}</math> אי זוגי (כי אחרת הוא זוגי ואז 2 מחלק את המספר ואז <math>2^{k+1}</math> מחלק את n. סתירה).
לפי הגדרת f רואים כי <math>(\frac{n}{2^k},k)</math> מקור ל n. וסיימנו.
'''משפט (קנטור- שרדר-ברנשטיין)''' אם <math>|B|\leq|A|</math> וגם <math>|A|\leq|B|</math> אז <math>|B|=|A|</math>