הוכחה : נגדיר פונצקיה <math>f:\mathbb{N}\to B </math> ע"י <math>n\mapsto 2n-1</math>
טענה <math>C=\mathbb{N}\cup\{0\}</math> קבוצת הטבעיים עם <math>0 </math> בת מנייה
הוכחה : נגדיר פונצקיה <math>f:\mathbb{N}\to C </math> ע"י <math>n\mapsto n-1</math>
הוכחה נניח <math>f(x_1,k_1)=f(x_2,k_2)</math> אזי <math>x_1 \cdot 2^{k_1} =x_2 \cdot 2^{k_2}</math>
בה"כ <math>k1k_1\leq k_2</math> ונחלק את שני האגפים ב <math>2^{k_1}</math>
נקבל כי<math>x_1 =x_2 \cdot 2^{k_2-k_1}</math>. כעת צד שמאל לא מתחלק ב 2 (כי <math>x_1</math> אי זוגי) ולכן גם אגף ימין לא מתחלק ב -2. הדבר יכול לקרות רק אם <math>k_2-k_1=0</math> או במילים אחרות <math>k_1=k_2</math>. כעת קיבלנו גם כי <math>x_1=x_2</math> ולכן בס"ה <math>(x_1,k_1)=(x_2,k_2)</math>.