אם נסתכל על קבוצה של קבוצות ניתן להגדיר עליה יחס "עוצמות שוות" והוא יהיה יחס רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי. עם זאת, לא ניתן להגדיר יחס זה על כל הקבוצות כולם בשל הסיבה שלא קיימת קבוצת כל הקבוצות.
נראה שימוש בתכונות אלו בתרגילים הבאים.
=== תרגיל ===
תהא <math>(A,\leq)</math> קבוצה סדורה קווית לא סופית. נגיד שתת קבוצה <math>X</math> של <math>A</math> היא תת קבוצה יורדת אם מתקיים
<math>\forall a\in A\forall x\in X \,(a<x) \to (a\in X)</math> (כאשר הסימון <math>a<x</math> פירושו ש <math>a\leq x</math> וגם <math>a\neq x</math>
נסמן ב <math>D</math> את קבוצת כל תתי הקבוצות היורדות של <math>A</math> האם <math>|A|=|D|</math> ?
פתרון: אמרו לי שכן. למה? כי נגדיר פונקציה <math>f:A\to D</math> המוגדרת ע"י <math>f(x)=\{a\in A\mid a<x\}</math> והיא חח"ע ועל.
#מצאו את הטעות בהוכחה.
# האם ואיך אפשר לתקן את הפתרון המוצע?
===תרגיל ===
פתרון: מניחים כי קיימת <math>f:A\to B</math> הפיכה. נגדיר <math>g:P(A)\to P(B)</math> ע"י <math>A'\mapsto f[A']</math> הפיכה.
האם הכיוון ההפוך נכון? אם ידוע <math>|P(A)|=|P(B)|</math> האם ניתן להסיק כי <math>|A|=|B|</math>?
=== תרגיל חשוב! ===
תהא <math>X,Y</math> קבוצות. הוכיחו כי <math>P(Y)^{X}</math> שקולת עוצמה ל <math>P(X\times Y)</math>
תשובה: יש לקחת <math>F(f)=\{(x,y)|y \in f(x)\}</math>
=== תרגיל ===
ולכן <math>F(f)=g</math>
שאלה: מה היה קורה אם היינו מגדירים את A בעזרת קטן שווה ולא קטן ממש? כלומר
נגדיר <math>A=\{f\in \mathbb{N}^{\mathbb{N}}\mid \forall n\in \mathbb{N}: \,f(n)\leq f(n+1)\}</math> האם <math>|A|=|\mathbb{N}^{\mathbb{N}}|</math> ?
== עוצמת הטבעיים ==
=== <math>\aleph_0 \cdot \aleph_0=\aleph_0</math> ===
'''הגדרה'''
* העוצמה של הטבעיים מסומנת <math>\aleph_0</math>
* קבוצה A המקיימת <math>|A|\leq \aleph_0 </math> נקראת '''בת מנייה''' (מקור השם כי ניתן למנות/ למספר את האיברים בה ע"י התאמה חח"ע ועל מהטבעיים במקרה האין סופי או במקרה הסופי פשוט למספר עד n )
טענה <math>B=\{2n-1 | n\in \mathbb{N}\}</math> קבוצת האי זוגיים היא בת מנייה
לפי הגדרת f רואים כי <math>(\frac{n}{2^k},k)</math> מקור ל n. וסיימנו.
==== תרגיל ====
הוכיחו כי לכל <math>0<n</math> טבעי מתקיים כי <math>\mathbb{N}^n=\mathbb{N}\times\mathbb{N}\times \cdots \times \mathbb{N} </math> מעוצמה <math>\aleph_0</math>
פתרון: באינדוקציה. בסיס: ברור. צעד: <math>|\mathbb{N}^{n+1}=|\mathbb{N}^n\times \mathbb{N}|=|\mathbb{N}\times \mathbb{N}|=|\mathbb{N}|</math>
==משפט קנטור- שרדר-ברנשטיין==
אם <math>|B|\leq|A|</math> וגם <math>|A|\leq|B|</math> אז <math>|B|=|A|</math>
===תרגיל===
<math>|\mathbb{Q}|=\aleph_0</math>.
====פתרון====
'''טענה.''' מתקיים ש <math>|\mathbb{N}|=|\mathbb{Z}|=|\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}|</math>.
<math>|\mathbb{N}|=|\mathbb{N}\times \mathbb{N}|=|\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}|</math>
כעת, נזכר ש <math> \mathbb{Q}</math> הם קבוצת מנה של <math>\mathbb{Z} \times \mathbb{N}</math>
ולכן
<math>|\mathbb{N}|\leq |\mathbb{Q}|\leq |\mathbb{Z} \times \mathbb{N}|\leq |\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}|=|\mathbb{N}| </math>
לפי קנטור ברנשטיין נקבל ש <math>|\mathbb{Q}|= |\mathbb{N}|=\aleph_0</math>.
===תרגיל===
ב. חשבו את עוצמת <math>\{f\in \mathbb{N}^A:f\text{ is not 1-1}\}</math>.
===תרגיל===
נסמן ב-<math>S</math> את קבוצת יחסי השקילות על הטבעיים <math>S=\{R\subseteq \mathbb{N}\times \mathbb{N}:R\text{ is an equivalence relation}\}</math>.
א. הראו ש- <math>|S|\leq |P(\mathbb{N})|</math>.
ב. נסמן <math>A=\mathbb{N}\smallsetminus \{1,2\}</math>, ונסמן ב-<math>T</math> את אוסף החלוקות של הטבעיים <math>T=\{\mathcal{F}:\mathcal {F} \text{ is a partition of }\mathbb{N}\}</math>. נגדיר <math>f:P(A)\to T</math> ע"י: <math>f(X)=\{X\cup \{1\},(A\smallsetminus X)\cup \{2\}</math>. הוכיחו שהיא חח"ע.
ג. הוכיחו <math>|S|=|P(\mathbb{N})|</math>.
===תרגיל===
תהיינה <math>A,B,C,D</math> קבוצות כך ש- <math>|A|=|C|,|B|=|D|</math>. הוכיחו: <math>|A^B|=|C^D|</math>
====פתרון====
קיימות פונקציות הפיכות <math>f:A\to C,g:B\to D</math>. נגדיר פונקציה <math>\varphi :A^B\to C^D</math> ע"י: <math>\varphi(h)=\{(g(b),f(h(b))\in D\times C:b\in B\}</math>. כלומר, שלחנו פונקציה לקבוצות זוגות סדורים, והיחס המתקבל הוא, מסתבר, פונקציה (דורש הוכחה כמובן). אפשר להסתכל על זה גם באופן הבא: בהינתן פונקציה<math>h:B\to A</math> נשלח אותה לפוננקציה <math>h':D\to C</math> המוגדרת <math>h'(d)=f\circ h\circ g^{-1}(d)</math>. ניתן לראות שהיא חח"ע ועל.
== עוצמת הממשיים==