הוכחה: נגדיר <math>f:A\to A/R </math> ע"י <math>f(a)=[a]_R</math>. הפונקציה על ולכן <math> |A/R|\leq |A| </math>
'''טענה''' אם <math>|A|=|A'|,\;\; |B|=|B'|</math> אזי <math>|A\times B|=|A'\times B'|</math>
הוכחה: קיימות פונקציות חח"ע ועל <math>f_1:A\to A'.\;\;f_2:B\to B'</math>
נגדיר פונקציה <math>f:A\times B \to A'\times B'</math> ע"י <math>(a,b)\mapsto (f_1(a),f_2(b))</math>
כיוון ש <math>f_1,f_2</math> חח"ע ועל גם <math>f</math> כזאת.
'''הערה'''
'''טענה.''' מתקיים ש <math>|\mathbb{N}|=|\mathbb{Z}|=|\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}|</math>.
הוכחה: נגדיר כיוון ש <math>f:|\mathbb{ZN}\to |=|\mathbb{NZ}\times \{0,1\}</math> ע"י <math>f(z)=(|z|,sgn(z))</math>.פונקציה זו חח"ע ולכןאזי לפי תרגיל ממקודם <math>|\mathbb{N}|\leq =|\mathbb{Z}|\leq|\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}|\leq|(\mathbb{N}\times \{0,1\})\times (\mathbb{N}\times \{0,1\})| \leq |(\mathbb{N}\times \mathbb{N})\times (\mathbb{N}\times \mathbb{N})|= |\mathbb{NZ}\times \mathbb{N}|= |\mathbb{NZ}| </math> לפי קנטור ברנשטיין נקבל את הדרוש.
נזכר ש <math> \mathbb{Q}</math> הם קבוצת מנה של <math>\mathbb{Z} \times \mathbb{N}</math>
ט: <math>\aleph_0\leq\aleph</math>
ה: נגדיר פונקציה <math>g:=\mathbb{N}\to [0,1)=\{f:\mathbb{N}\to \{0,1\dots 9\}\} </math>
ע"י <math>\forall n\in \mathbb{N}:g(n)=e_n(m)=\delta_{n,m}</math> למשל 17 נשלח לפונקציה ששווה 0 בכל מקום פרט ל-17 ששם היא שווה 1
כעת נניח בשלילה כי <math>\aleph_0=\aleph</math> אזי יש פונקציה חח"ע ועל
<math>g:=\mathbb{N}\to [0,1)=\{f:\mathbb{N}\to \{0,1\dots 9\}\} </math>
נסמן <math>g(n)=f_n</math>.
נראה כי g אינה על ע"י שנבנה פונקציה f שאין לה מקור: