'''הגדרה.''' יהיו A,B שתי קבוצות. אזי:
*אם קיימת <math>f:A\to B </math> חח"ע ועל אז אומרים של A ולB '''יש אותה עוצמה''' (סימון <math>|A|=|B|</math>)
*אם קיימת <math>f:A\to B </math> חח"ע אז אומרים כי העוצמה של A קטנה או שווה לזו של B. (סימון <math>|A|\leq|B|</math>)* אם <math>|A|\leq|B|</math> וגם <math>|A|\not=|B|</math> אזי אומרים כי העוצמה של A קטנה ממש מהעצמה של B (סימון <math>|A|<|B|</math>)
הערה: בעזרת אקסיומת הבחירה מוכיחים כי אם קיימת <math>f:A\to B </math> על אזי <math>|B|\leq|A|</math>
'''דוגמא.''' יהיו A וB שתי קבוצות סופיות. אזי אם מספר האיברים בהן שווה עוצמתן שווה, ואם מספר האיברים בA גדול מזה של B אזי עוצמתה של A גדולה יותר.
'''טענה.''' אם <math>A\subseteq B</math> אזי <math>|A|\leq |B|</math>.
הוכחה: נגדיר <math>f:A\to B </math> פונקצית ההכלה השולחת כל איבר לעצמו. פונקציה זו חח"ע ולכן <math>|A|\leq|B|</math>
לכל קבוצה סופית בעלת n איברים, נאמר שעוצמתה הינה n.
'''משפט''' (קנטור- שרדר-ברנשטיין) אם <math>|B|\leq|A|</math> וגם <math>|A|\leq|B|</math> אז <math>|B|=|A|</math>
'''תרגיל''' הוכח כי עוצמת <math>\mathbb{N}</math> שווה ל -<math>\mathbb{N}\cup\{0\}</math>
'''הערה.'''
אם נסתכל על קבוצה של קבוצות ניתן להגדיר עליה יחס "עוצמות שוות" הינו והוא יהיה יחס רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי. הסיבה שאנו אם זאת, לא מגדירים עוצמה כיחס שקילויות היא כי לא קיימת קבוצת כל הקבוצות עליה ניתן להגדיר יחס זהעל כל הקבוצות כולם בשל הסיבה שלא קיימת קבוצת כל הקבוצות. אבל עדיין ניתן להשתמש נראה שימוש בתכונות כמו טרנזיטיביותאלו בתרגילים הבאים.
'''תרגיל.'''
קל לוודא שפונקציה זו חח"ע ועל לכן עוצמת השלמים ועוצמת הטבעיים שווה.
'''טענה.''' אם <math>A\subseteq B</math> אזי <math>|A|\leq |B|</math>. קל לבנות פונקציה מA לB ששולחת כל איבר בA לעצמו, זו פונקציה חח"ע.
'''טענה.''' אם A קבוצה וR יחס שקילויות על הקבוצה אזי עוצמת קבוצת המנה קטנה או שווה לעוצמה של A. נוכיח טענה זו בהמשך הקורס באמצעות אקסיומת הבחירה.