שינויים
/* תרגילי העשרה (לא מומלץ להעביר בתירגול) */
א. בהנתן שמיניה מסוימת באוסף, נבחר נקודה רציונאלית אחת ממעגל אחד, ואחת מהמעגל השני. זה נותן לנו פונקציה מהאוסף אל הזוגות הסדורים של מספרים רציונאליים.
כעת, נוכיח כי פונקציה זו הינה חח"ע. נניח בשלילה כי לשתי שמיניות שונות יש נקודות משותפים בשני המעגלים. אם כן, המעגל של האחת נמצא במעגל של האחרת ולכן גם נקודת ההשקה נמצאת בתוך המעגל האחד. מכיוון שמעגל שהמעגל השני מכיל נקודה משותפת עם המעגל השני של השמיניה השנייה, חייב להיות חיתוך בינהם בסתירה (ציור פה יקל ממש על ההבנה שלכם...).
לכן עוצמת האוסף קטנה מעוצמת הזוגות הסדורים של הרציונאליים, ולמדנו שזוגות סדורים של קבוצה בת מנייה היא קבוצה בת מנייה. לכן עוצמת האוסף קטנה מבת מנייה אבל מכיוון שהיא אינסופית היא גדולה מבת מנייה ולכן בת מנייה כדרוש.
ב. ניקח את אוסף המעגלים עם מרכז בראשית ורדיוס ממשי חיובי. אין בינהם חיתוך, והכמות שלהם זהה לחצי ציר הממשיים והוא כמובן מעוצמת אלף.
