שינויים
/* תרגיל */
פתרון: מניחים כי קיימת <math>f:A\to B</math> הפיכה. נגדיר <math>g:P(A)\to P(B)</math> ע"י <math>A'\mapsto f[A']</math> הפיכה.
=== תרגיל ===
נגדיר <math>A=\{f\in \mathbb{N}^{\mathbb{N}}\mid \forall n\in \mathbb{N}: \,f(n)<f(n+1)\}</math> הוכיחו כי אם <math>|A|=|\mathbb{N}^{\mathbb{N}}|</math>
פתרון: נגדיר פונקציה <math>F: \mathbb{N}^{\mathbb{N}}\to A</math> ע"י
<math>F(f)(n)=\begin{cases} f(n)-f(n-1) & \text{if }n>1\\
f(1) & \text{if }n=1
\end{cases}</math>
נוכיח כי F חח"ע ועל.
חח"ע: נניח <math>F(f_1)=F(f_2)</math> אזי <math>f_1(1)=F(f_1)(1)=F(f_2)(1)=f_2(1)</math> ואז מהשיוויון
<math>f_1(2)-f_1(1)=F(f_1)(2)=F(f_2)(2)=f_2(2)-f_2(1)</math> נקבל כי <math>f_1(2)=f_2(2)</math> כעת נניח כי <math>f_1(n)=f_2(n)</math> ונוכיח שיוויון בקלט <math>n+1</math>. אכן מהשיוויון <math>f_1(n+1)-f_1(n)=F(f_1)(n+1)=F(f_2)(n+1)=f_2(n+1)-f_2(n)</math> נצמצם את ההנחה כי <math>f_1(n)=f_2(n)</math> ונקבל כי <math>f_1(n+1)=f_2(n+1)</math>
על: תהא <math>g\in \mathbb{N}\to \mathbb{N}</math> נמצא לה מקור. נגדיר <math>f(n)=\sum_{k=1}^ng(k)</math> ואז
<math>F(f)(n)=\begin{cases} f(n)-f(n-1)=g(n) & \text{if }n>1\\
f(1)=g(1) & \text{if }n=1
\end{cases}</math>
ולכן <math>F(f)=g</math>
== עוצמת הטבעיים ==
