שינויים
/* תכונות האריתמטיקה */
*סימטריות: <math>f(x)-g(x)\in\mathbb{Z}</math> גורר שגם <math>g(x)-f(x)\in\mathbb{Z}</math> כי יש נגדי לחיבור
*טרנזיטיביות: נובעת בקלות מסגירות לחיבור בשלמים: <math>f-h=f-g+g-h</math>
2.
נביט במחלקת השקילות של f ונראה שיש העתקה S חח"ע ועל ממנה לאוסף הפונקציות מהממשיים לשלמים.
<math>S(g):=f-g</math>. לפי ההגדרה, <math>f-g\in\{h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{Z}\}</math>. נוכיח ש-S חח"ע ועל.
נניח <math>S(g)=S(h)</math> לכן <math>\forall x\in\mathbb{R} f(x)-g(x)=f(x)-h(x)</math> ולכן h=g, זה מוכיח חח"ע.
נוכיח על: תהי h פונקציה כלשהי מהממשיים לשלמים, ברור שf-h במחלקת השקילות של f.
אם כך, העוצמה של מחלקת השקילות זהה לעוצמה של אוסף הפונקציות מהממשיים לשלמים והוא <math>{\aleph_0}^\aleph</math>. לפי התכונות שלמדנו לעיל מתקיים <math>2^\aleph\leq{\aleph_0}^\aleph\leq 2^\aleph</math> ולכן לפי קנטור מתקיים <math>{\aleph_0}^\aleph=2^\aleph</math>
