אם כך, העוצמה של מחלקת השקילות זהה לעוצמה של אוסף הפונקציות מהממשיים לשלמים והוא <math>{\aleph_0}^\aleph</math>. לפי התכונות שלמדנו לעיל מתקיים <math>2^\aleph\leq{\aleph_0}^\aleph\leq 2^\aleph</math> ולכן לפי קנטור מתקיים <math>{\aleph_0}^\aleph=2^\aleph</math>
3.
נזכור בסימון <math>\lfloor x\rfloor</math> שהוא המספר השלם הגדול ביותר הקטן או שווה לx.
נגדיר S פונקציה השולחת את <math>f\in\mathbb{R}^\mathbb{R}</math> לפונקציה <math>S(f):=f-\lfloor f\rfloor\in [0,1)^\mathbb{R}</math>. נראה ש-S מוגדרת היטב בהתחשב ביחס השקילות שלנו, ובנוסף שהפונקציה השולחת מחלקת שקילות ל-S של נציג כלשהו של המחלקה הינה חח"ע ועל.
יהיו שתי פונקציות באותה מחלקת שקילות g,f. אזי, <math>S(g)-S(f)=g-\lfloor g\rfloor -f + \lfloor f\rfloor</math>. מכיוון שזהו הפרש של שני מספרים אי שליליים קטנים מאחד, זה שווה למספר אי שלילי קטן מאחד. מכיוון שההפרש בין f ל-g שלם, המספר הזה הוא שלם. המספר השלם האי שלילי היחיד שקטן מאחד הינו אפס. לכן הפונקציה S מוגדרת היטב שכן היא שולחת נציגים שונים של מחלקת שקילות לאותו מקום.
נניח בשלילה ש-S אינה חח"ע, לכן <math>S(f)-S(g)=0</math> עבור נציגים ממחלקות שקילות '''שונות'''. אבל אז <math>f-g=\lfloor f\rfloor - \lfloor g\rfloor</math> ולכן הם נציגים של אותה מחלקת שקילות בסתירה.
ניקח פונקציה כלשהי r מהממשיים לקטע <math>[0,1)</math>. קל לראות ש <math>S[r]=r</math> שכן <math>\lfloor r \rfloor = 0</math>. לכן S הינה על.
סה"כ קיבלנו שעוצמת קבוצת המנה שווה ל<math>\aleph^\aleph</math> וזה שווה ל<math>2^\aleph</math> לפי התכונות לעיל.