מוגדרת: לפי ההגדרה של יחס השקילות אכן מתקיים <math>f-g\in \mathbb{Z}^{\mathbb{R}}</math>
חח"ע: נניח <math>SF(g)=SF(h)</math> לכן <math>\forall x\in\mathbb{R} f(x)-g(x)=f(x)-h(x)</math> ולכן h=g.
על: תהי h פונקציה כלשהי מהממשיים לשלמים, ברור ש(f-h) במחלקת השקילות של f והיא תהיה המקור.
אם כך, העוצמה של מחלקת השקילות זהה לעוצמה של אוסף הפונקציות מהממשיים לשלמים והוא <math>{\aleph_0}^\aleph</math>. לפי התכונות שלמדנו לעיל מתקיים <math>2^\aleph\leq{\aleph_0}^\aleph\leq 2^\aleph</math> ולכן לפי קנטור מתקיים <math>{\aleph_0}^\aleph=2^\aleph</math>
נזכור בסימון <math>\lfloor x\rfloor</math> שהוא המספר השלם הגדול ביותר הקטן או שווה לx.
נגדיר S F פונקציה השולחת את <math>f\in\mathbb{R}^\mathbb{R}</math> לפונקציה <math>S(f):=f-\lfloor f\rfloor\in [0,1)^\mathbb{R}</math>. נראה ש-S F מוגדרת היטב בהתחשב ביחס השקילות שלנו, ובנוסף שהפונקציה השולחת מחלקת שקילות ל-S של נציג כלשהו של המחלקה הינה (על קבוצת המנה)וההפעלה שלה על קבוצת המנה תהיה חח"ע ועל. יהיו שתי פונקציות באותה מחלקת שקילות g,f. אזי, <math>S(g)-S(f)=g-\lfloor g\rfloor -f + \lfloor f\rfloor</math>. מכיוון שזהו הפרש של שני מספרים אי שליליים קטנים מאחד, זה שווה למספר אי שלילי קטן מאחד. מכיוון שההפרש בין f ל-g שלם, המספר הזה הוא שלם. המספר השלם האי שלילי היחיד שקטן מאחד הינו אפס. לכן הפונקציה S מוגדרת היטב שכן היא שולחת נציגים שונים של מחלקת שקילות לאותו מקום.
נניח בשלילה ש-S אינה חח"עמוגדרות: יהיו שתי פונקציות באותה מחלקת שקילות g,f. אזי, לכן <math>SF(fg)-SF(gf)=0g-\lfloor g\rfloor -f + \lfloor f\rfloor</math> עבור נציגים ממחלקות שקילות '''שונות'''. אבל אז מכיוון שזהו הפרש של שני מספרים אי שליליים קטנים מאחד, זה שווה למספר אי שלילי קטן מאחד. מכיוון שההפרש בין f ל-g שלם, המספר הזה הוא שלם. המספר השלם האי שלילי היחיד שקטן מאחד הינו אפסכלומר <math>F(f-g)=\lfloor f\rfloor - \lfloor F(g\rfloor)</math> ולכן הם . לכן הפונקציה F מוגדרת היטב שכן היא שולחת נציגים שונים של אותה מחלקת שקילות בסתירהלאותו מקום.
ניקח פונקציה כלשהי r מהממשיים לקטע חח"ע: נניח <math>[0,1F(f)=F(g)</math>. קל לראות ש אז <math>S[r]f-g=r\lfloor f\rfloor - \lfloor g\rfloor</math> שכן כיוון ש <math>\lfloor r f\rfloor - \lfloor g\rfloor\in \mathbb{Z}^\mathbb{R} </math> אזי הם נציגים של אותה מחלקת שקילות כלומר <math>[f]= 0[g]</math>. לכן S הינה על.
על: ניקח פונקציה כלשהי r מהממשיים לקטע <math>[0,1)</math>. קל לראות ש <math>F[r]=r</math> שכן
<math>\lfloor r \rfloor = 0</math>. לכן r ישמש מקור ולכן F הינה על.
סה"כ קיבלנו שעוצמת קבוצת המנה שווה ל<math>\aleph^\aleph</math> וזה שווה ל<math>2^\aleph</math> לפי התכונות לעיל.