הוכחה: דרך א- ישירות מהגדרה. נבחר <math>A=[\frac{1}{4},\frac{1}{2}],B=\mathbb{N}</math> אזי
<math>\aleph=|A|\leq |A\cap cup B |\leq |\mathbb {R}|=\aleph</math>
דרך ב- מהנוסחא. <math>\aleph_0+\aleph=max\{\aleph_0,\aleph\}=\aleph </math>
'''תרגיל'''
הוכח כי <math>\aleph \times cdot \aleph=\aleph </math>
הוכחה: <math>\aleph=|\{f:\mathbb{N}\to \{ 0,1\dots 9 \} \}|=10^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}</math>
דרך ב- אריתמטיקה-
<math>\aleph \times dots \aleph=2^{\aleph_0}\cdot 2^{\aleph_0}=2^{\aleph_0+\aleph_0}=2^{\aleph_0}=\aleph </math>
דרך ג- מהנוסחא- <math>\aleph \times dots \aleph=max\{\aleph,\aleph\}=\aleph </math>
'''תרגיל'''