שינויים

'''[[88-195 מתמטיקה בדידה לתיכוניסטים תשעא/- מערך שיעורתרגול|חזרה למערכי התרגול]]'''

'''פתרון.הגדרה'''יהיו A,B קבוצות אזי <math>A^B:=\{f:B\rightarrow A\}</math>.

קל לבנות פונקציה על מאוסף הפונקציות מA לB אל ===תרגיל===יהיו A,B,C קבוצות כך ש <math>|A|\leq |B|</math>. נשלח כל פונקציה באוסף למקור של איבר b מסויםהוכיחו כי <math>|A^C|\leq|B^C|</math>. מכיוון שכל הפונקציות מA לB נמצאות באוסף, בפרט כל הפונקציות ששולחות כל איבר מA ל-b יהיו שם פתרון: נתון שקיימת <math>f:A\to B</math> חח"ע. נגדיר <math>g:A^C\to B^C</math> ע"י <math>h:C\to A\mapsto f\circ h</math>. מתקיים כי g חח"ע כי f חח"ע ויש לה הפיכה שמאלית.

נניח בשלילה שקיימת התאמה חח"ע ועל בין A לבין אוסף הפונקציות הנ"ל. נסמן בהערה: <math>f_a:|A\rightarrow |< |B|</math> את הפונקציה המתאימה לאיבר '''לא''' גורר <math>a\in |A^C|<|B^C|</math>.

'''===תרגיל.''' ===הוכח שעוצמת קבוצת החזקה של A תמיד גדולה מעוצמתה של A '''הוכחה.''' יש התאמה חח"ע ועל <math>g:P(A)\to \{0,1\}^A</math> ע"י <math>\forall B\subseteq A : g(B)=f_B=\chi_B</math>  לפי תרגיל קודם <math>|A|<|\{0,1\}^A|=|P(A)|</math> '''הערה: (למי שלמד תורת הקבוצות)''' מסיבה זו אוסף העוצמות אינו קבוצה אלא מחלקה. שכן אם הוא היה קבוצה, הייתה לו עוצמה ===תרגיל===יהיו A,B קבוצות כך ש <math>|B|>1</math>. הוכח כי <math>|A|<|B^A|</math>. '''פתרון.'''נבחר 2 איברים שונים <math>b_0,b_1\in B</math> ונגדיר פונקציה חח"ע <math>g:A\to B^A</math> ע"י <math>g(a)=f_a</math> כאשר <math>f_a(a)=b_1</math> ו <math>\forall a'\not=a :f_a(a')=b_0</math>ולכן <math>|A|\leq|B^A|</math>. נניח בשלילה שקיים שיוויון אזי קיימת התאמה חח"ע ועל <math>g:A\to B^A</math>. נסמן <math>\forall a\in A:g(a)=f_a</math>.

'''הוכחה.''' קל להראות שקיימת העתקה חח"נראה באופן דומה לתירגול קודם כי g איננה על ע ועל בין אוסף הפונקציות <math>"י שנמצא פונקציה fשאין לה מקור:A\rightarrow \{0,1\}</math> (כל קבוצה חלקית אומרת בעצם על כל איבר של A אם הוא שייך (1) או לא שייך (0). למשל הפונקציה המתאימה לקבוצה הריקה היא פונקצית האפס, והפונקציה המתאימה לקבוצה כולה היא הפונקציה 1).

אוסף הפונקציות עומד בתנאי התרגיל לעיל ולכן עוצמתו גדולה מעוצמת A אבל זהה לעוצמה של קבוצת החזקהנבחר 2 איברים שונים <math>b_0, כפי שרצינוb_1\in B</math>ונגדיר פונקציה באופן הבא <math>f:A\rightarrow B</math> ע"י <math>f(a)=b_0</math> אם <math>f_a(a)=b_1</math>. ו- <math>f(a)=b_1</math> אחרת.לפי הבנייה <math>\forall a\in A f\not=f_a</math> כיוון ש <math>f(a)\not=f_a(a)</math>. סתירה לכך ש g על.

'''הערה:''' מסיבה זו אוסף העוצמות אינו קבוצה אלא מחלקה. שכן אם התרגיל הזה הוא היה קבוצהמסקנה מהתרגילים הקודמים כי <math>|\{0, הייתה לו עוצמה1\}|\leq |B|</math> ולכן <math>|A|<|\{0,1\}^A|\leq |B^A|</math>

בהרצאה תוכיחו שהגדרות אלה מוגדרות היטב, כלומר העוצמה נשארת זהה ללא תלות בבחירת הקבוצות המייצגות. '''שימו לבדוגמא:''' מתוך הגדרה זו קל לראות ראינו בתירגול קודם את חוקי החזקות למקרי הקצה: *הזיהוי <math>a^[0,1)=\{f:\mathbb{N} \to \{0,1,...9\}\}</math> שכן יש פונקציה יחידה מהקבוצה הריקה לכל מקום - היחס שהוא הקבוצה הריקה.*לכן <math>\aleph=|\mathbb{R}|=|[0^0,1)|=|\{f:\mathbb{N} \to \{0,1</math> זה מקרה פרטי של הסעיף הקודם, ועדיין מתקיים*<math>a...9\neq 0 }\rightarrow 0^a}|=010^{\aleph_0}</math> אין אף פונקציה מקבוצה לא ריקה אל קבוצה ריקה, שכן יחס כזה לא יכול להיות שלם.

'''תרגיל ממבחן תשסח מועד א''' נוכיח למשל <math>(דa^b)^c=a^{bc}</math> יהיו <math>|A|=a,|B|=b,|C|=c</math> קבוצות זרות נגדיר פונקציה מ <math>(A^B)^C \to A^{B\times C} </math> ע"ר שי סרוסי וד"ר אלי בגנוי <math>f \mapsto g(b,c)= f(c)(b)</math>. היא חח"ע ועל.

תהי A קבוצה אינסופיתבנוסף אם מניחים את אקסיומת הבחירה אזי מתקיים עבור a,b עוצמות כאשר אחד מהם אין סופי * <math>a+b=max\{a,b\}</math>*אם שניהם אינם אפס אזי <math>a\cdot b=max\{a,b\}</math>*מסקנה: אם <math>2\leq a \leq b</math> אזי <math>a^b=2^b</math> הוכחה <math>2^b\leq a^b\leq (2^a)^b=2^{ab}=2^b</math> ===תרגיל===הוכח כי <math>\aleph_0+\aleph=\aleph</math> הוכחה: דרך א- ישירות מהגדרה. נסמן נבחר <math>|A|=a[\frac{1}{4},\frac{1}{2}],B=\mathbb{XN}</math> אזי <math>\aleph=|A|X\subseteq leq |A\cup B |\leq |\mathbb {R}|=\aleph</math> דרך ב- מהנוסחא. <math>\aleph_0+\aleph=max\{\aleph_0, C\aleph\}=\aleph </math> ===תרגיל===הוכח כי <math>\aleph \cdot \aleph=\aleph </math> הוכחה: <math>\aleph=|\{f:\mathbb{N}\to \{ 0,1\dots 9 \} \}|=10^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}</math> דרך א- ישירות מהגדרה. נבחר <math>A=\{f:\mathbb{N}\to \{0,1\dots 9\}\},B=A\rightarrow P(times A</math> אזי נגדיר פונקציה <math>A\to A\times A</math> ע"י <math>f(n)\mapsto (f(2n),f(2n+1))</math> . זו פונקציה חח" ועל. דרך ב- אריתמטיקה- <math>\aleph \cdot \aleph=2^{\aleph_0}\cdot 2^{\aleph_0}=2^{\aleph_0+\aleph_0}=2^{\aleph_0}=\aleph </math> דרך ג- מהנוסחא- <math>\aleph \cdot \aleph=max\{\aleph,F\aleph\}=\aleph </math> ===תרגיל=== הוכח כי <math>|\mathbb{(R}\backslash \mathbb{Q}|=\aleph</math> פתרון: כיוון ש <math>\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}</math> מוכל בממשיים עוצמתה לכל היותר אלף. נניח בשלילה כי עוצמתה שווה aקטנה ממש מאלף אזי<math>\aleph=|\mathbb{R}|=|\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}|+|\mathbb{Q}|=a+\aleph_0=a<\aleph</math>. סתירה === תרגיל ===חשבו את <math>\aleph^{\aleph_0},{\aleph_0}^{\aleph}</math> פתרון: <math>\aleph^{\aleph_0}=\aleph,{\aleph_0}^{\aleph}=2^{\aleph}</math> הסיקו כי עוצמת קבוצת הפונקציות מהרציונאלים לממשיים היא <math>\aleph</math>. ===תרגיל===תהא <math>A</math> קבוצה אינסופית ו <math>B\subseteq A</math> תת קבוצה. הוכח/הפרך  1. <math>|A\backslash B|=|A|\Rightarrow |B|<|A|</math> 2. <math>|A\backslash B|=|A|\Leftarrow |B|<|A|</math> פתרון: 1. הפרכה: ניקח את השלמים והטבעיים 2. נכון כי ניתן להציג A כאיחוד זר <math>A=A\backslash B \cup B</math> ולכן <math>|A|=|A\backslash B| + |B|</math>. אם <math>|A\backslash B|<|A|</math> נקבל סתירה === תרגיל ===1. מה עוצמת <math>\mathbb{N}^\mathbb{N}</math> פתרון: <math>\aleph_0^{\aleph_0} =2^{\aleph_0} </math> 2. מה עוצמת <math>X=\{f\in \mathbb{N}^\mathbb{N}:f(1)\leq f(2)\}</math> פתרון: לכל היותר <math>\mathbb{N}^\mathbb{N}</math> ולכל הפחות <math>\mathbb{N}^\mathbb{N}</math> כי לכל <math>g\in \mathbb{N}^{\mathbb{N}\setminus \{1,2\}}</math> נתאים <math>f\in X</math> ע"י <math>f(1)=f(2)=1 </math> ועבור <math>x\neq 1,2</math> נגדיר <math>f(x)=g(x)</math> ולכן <math>|\mathbb{N}^{\mathbb{N}\setminus \{1,2\}}|\leq|X|\leq |\mathbb{N}^\mathbb{N}|</math> ולפי ק.ש.ב יש שיווון 3. מה עוצמת <math>X=\{f\in \mathbb{R}^\mathbb{R}:\forall x\notin \mathbb{Q} f(x)=1\}</math> פתרון: X שווה עוצמה ל <math>\mathbb{R}^{\mathbb{Q}}</math> כי <math>g\in\mathbb{R}^{\mathbb{Q}}</math> ממופה ל <math>f\in X</math> המוגדרת <math>f|_{\mathbb{Q}}=g,f|_{\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}=1</math> === תרגיל ===תהי <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> משפחה של קבוצות הזרות זו לזו כך שעוצמת כל אחת מהן ב<math>a</math>. נגדיר <math>\sum_{i\in I} a = |\bigcup_{i\in I}A_i|</math>. הוכח כי <math>\sum_{i\in I} a = |I|\cdot a</math> פתרון: תהא <math>A) </math> קבוצה נוספת מעוצמה <math>a</math>. לכל <math>i\and in I</math> קיימת פונקציה חח"ע ועל <math>f_i:A\rightarrow A_i</math>. כעת נגדיר פונקציה <math>g:I\times A\rightarrow\bigcup_{i\in I}A_i</math> ע"י <math>g(k,x)=f_k(x)</math>. מכיוון שהקבוצות זרות ו<math>f_k</math> חח"ע ברור שg חח"ע. מכיוון ש<math>f_k</math> על גם g על ולכן קיבלנו את המבוקש. === תרגיל ===נגדיר <math>F</math> להיות אוסף תתי הקבוצות הסופיות של הטבעיים <math>F=\{X\subseteq \mathbb{N}:|X|<\aleph_0\}</math>. מה עוצמתה? פתרון: לכל <math>i\in \mathbb{N}</math> נגדיר <math>F_i=\{X\subseteq \mathbb{N}:|X|=i\}</math> (אוסף תתי הקבוצות מגודל <math>i</math>). אזי <math>|F_i|\leq \aleph_0^i=\aleph_0</math> ואז <math>|F|=|\cup_{i\in \mathbb{N}}F_i|\leq \aleph_0\cdot \aleph_0 =\aleph_0</math> === תרגיל (בש.ב.)===נגדיר <math>A</math> להיות אוסף תתי הקבוצות האינסופיות של הטבעיים. מה עוצמתה? פתרון: מתקיים כי <math>P(\mathbb{N})=A\cup A^c</math> כאשר A היא תתי הקבוצות הסופיות מתרגיל קודם שעוצמת <math>\aleph_0</math> ולכן <math>2^{\aleph_0}=\aleph_0+|A^c|=\max\{\aleph_0,H|A^c|\}=|A^c|</math> === תרגיל ===נגדיר <math>A=\{fX\subseteq \mathbb{R}: |X|=\aleph_0 \}</math> ,מה עוצמתה? פתרון: לכל הפחות <math>2^{\aleph_0}</math> כי תתי הקבוצות האינסופיות של הטבעיים מעוצמה זאת. בצד שני נגדיר <math>F:\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to P(\mathbb{R})</math> ע"י<math>f\mapsto Im(f)</math> טענה:<math>A\subseteq Im(F)</math> הוכחה: תהא <math>X\in A</math> ומהגדרת A, נסיק כי X מעוצמה הטבעיים ולכן קיימת <math>f:\mathbb{N}\to X</math> חח"ע ועל ולכן <math>F(f)=Im(f)=X</math>. מסקנה מכך <math>|A|\leq |Im(F)|\leq |\mathbb{R}^{\mathbb{N}}|=\aleph^{\aleph_0}=\aleph</math>. לפי ק.ש.ב <math>|A|=2^{\aleph_0}=\aleph</math> === תרגיל === נגדיר <math>A=\{X\subseteq \mathbb{R}: |X|=\aleph \}</math> ,מה עוצמתה? פתרון: לכל היותר <math>2^\aleph</math> מצד שני <math>F:P((0,1))\to A </math> המוגדרת <math>B\rightarrow mapsto B\}cup (1,2)</math> חח"ע ולפי ק.ש.ב. סימנו ===תרגיל ממבחן תשסח מועד א (ד"ר שי סרוסי וד"ר אלי בגנו) === תהי A קבוצה אינסופית. נסמן <math>a=|A|,\;B=P(A),\;F=A\times P(A),\; C=P(A)^A,\; H=B^B</math>

'''ט: <math>|W|=2^{\aleph_0}</math> ה: נסמן <math>|W|=a</math>. בנוסף <math>\bigcup_{\{A,A^c\}\in W}\{A,A^c\}=P(\mathbb{N})</math> ולכן <math>2^{\aleph_0}=|P(\mathbb{N})|=2a=a</math>. === תרגיל ===נגדיר <math>X=\left\{ 0,1\right\} ^{\mathbb{N}}</math> קבוצת כל הסדרות הבינאריות. נגדיר יחס <math>\sim</math> על <math>X</math> כך <math>f\sim g</math> אמ"מ הקבוצה<math>\left\{ n\in\mathbb{N}\mid f(n)\neq g(n)\right\}</math> סופית הוכיחו כי <math>\sim</math> יח"ש לכל <math>f\in X</math>, מצאו את העוצמה של <math>[f]</math>. מצאו את העוצמה של קבוצת המנה. === תרגיל ===תהא <math>X\subseteq P(\mathbb{N})</math>. מצאו <math>X</math> המקיימת: כל <math>A,B\in X</math> שונות הן זרות (כלומר <math>A\cap B=\emptyset</math>). ניח <math>X</math> מקיימת: כל <math>A,B\in X</math> שונות הן זרות. הוכיחו כי <math>X</math> בת מנייה. תהא <math>C\subseteq\mathbb{N}</math>. נניח <math>X</math> מקיימת: החיתוך של <math>A,B\in X</math> שונות הוא <math>C</math> (כלומר <math>A\cap B=C</math>). הוכיחו כי <math>X</math> בת מנייה. נניח <math>X</math> מקיימת: החיתוך של <math>A,B\in X</math> שונות הוא לכל היותר בן 10 איברים (כלומר <math>\left|A\cap B\right|\leq10</math> ). הוכיחו כי <math>X</math> בת מנייה.רמז: <math>\cup_{B\in I}X_{B}</math> כאשר <math>I=\left\{ B\subseteq\mathbb{N}\mid\left|B\right|=10\right\}</math> ו <math>X_{B}=\left\{ S\in X\mid B\subseteq S\right\}</math> ===תרגיל ממבחן תשע מועד א''' (ד"ר שי סרוסי וד"ר אפי כהן)===

:1. הוכיחו שS ש S הינו יחס שקילות

נביט במחלקת השקילות של עבור <math>[f ונראה שיש העתקה ]\in \mathbb{R}^\mathbb{R}/S </math>נגדיר <math>F:[f] \to \mathbb{Z}^{\mathbb{R}}</math>.ע"י <math>F(g):=f-g </math> נראה כי היא מוגדרת,חח"ע ועל ממנה לאוסף הפונקציות מהממשיים לשלמים.

<math>S(g)מוגדרת:=f-g</math>. לפי ההגדרה, של יחס השקילות אכן מתקיים <math>f-g\in\{h:\mathbb{RZ}\rightarrow^{\mathbb{ZR}\}</math>. נוכיח ש-S חח"ע ועל.

נראה כי ל F קיימת הופכית. נגדיר <math>G: \mathbb{Z}^{\mathbb{R}} \to [f]</math>. ע"י <math>G(h):=f-h </math>. הפונקציה מוגדרת היטב כי <math>f-(f-h)\in \mathbb{Z}^{\mathbb{R}}</math> וקל לוודא שזוהי ההופכית חח"ע: נניח <math>SF(g)=SF(h)</math> לכן <math>\forall x\in\mathbb{R} f(x)-g(x)=f(x)-h(x)</math> ולכן h=g, זה מוכיח חח"ע. נוכיח על: תהי h פונקציה כלשהי מהממשיים לשלמים, ברור שf-h במחלקת השקילות של f.

נגדיר S F פונקציה השולחת את <math>f\in\mathbb{R}^\mathbb{R}</math> לפונקציה <math>SF(f):=f-\lfloor f\rfloor\in [0,1)^\mathbb{R}</math>. נראה ש-S F מוגדרת היטב בהתחשב ביחס השקילות שלנו, ובנוסף שהפונקציה השולחת מחלקת שקילות ל-S של נציג כלשהו של המחלקה הינה (על קבוצת המנה)וההפעלה שלה על קבוצת המנה תהיה חח"ע ועל.

מוגדרות: יהיו שתי פונקציות באותה מחלקת שקילות g,f. אזי, <math>SF(g)-SF(f)=g-\lfloor g\rfloor -f + \lfloor f\rfloor</math>. מכיוון שזהו הפרש של שני מספרים אי שליליים קטנים מאחד, זה שווה למספר אי שלילי שבערכו המוחלט קטן מאחד. מכיוון שההפרש בין f ל-g שלם, המספר הזה הוא שלם. המספר השלם האי שלילי היחיד שקטן מאחד הינו אפסכלומר <math>F(f)=F(g)</math>. לכן הפונקציה S F מוגדרת היטב שכן היא שולחת נציגים שונים של מחלקת שקילות לאותו מקום.

נניח בשלילה ש-S אינה חח"ע, לכן : נניח <math>SF(f)-S=F(g)=0</math> עבור נציגים ממחלקות שקילות '''שונות'''. אבל אז <math>f-g=\lfloor f\rfloor - \lfloor g\rfloor</math> ולכן הם נציגים של אותה מחלקת שקילות בסתירה. ניקח פונקציה כלשהי r מהממשיים לקטע כיוון ש <math>[0,1)\lfloor f\rfloor - \lfloor g\rfloor\in \mathbb{Z}^\mathbb{R} </math>. קל לראות ש אזי הם נציגים של אותה מחלקת שקילות כלומר <math>S[rf]=r</math> שכן <math>\lfloor r \rfloor = 0[g]</math>. לכן S הינה על.

'''===תרגיל ממבחן תשע מועד ב''' (ד"ר שי סרוסי וד"ר אפי כהן)===

:1. נגדיר עבור <math>2\leq n\in\mathbb{N}</math> את הקבוצה הבאה: <math>YX=\{(X_1,...,X_n):1<n\in\mathbb{N}\and\Big[\bigcup_i X_i=A\Big] \and \Big[\forall i\neq j: X_i\cap X_j = \emptyset\Big] \and \big[ \forall i X_i \neq \emptyset\big]\}</math>. '''הוכח''' <math>|Y|=2^a</math>

כלומר אוסף החלקות הסופיות הלא טרי' הסדורות של A'''הוכח''' <math>|X|=2^a</math> :2. מצא את <math>|\mathbb{N}\times YX|,|\mathbb{N}\cup YX|</math> וגם את <math>|YX|^{|\mathbb{N}|},|\mathbb{N}|^{|YX|}</math>

נביט באוסף הפונקציות <math>XY=\{f:A\rightarrow\mathbb{N}\}</math>. נגדיר <math>g:Y\rightarrow X\to Y</math> על ידי לכל <math>x=(X_1,...,X_n)\in X</math>  נשלח אותו ל <math>g(yx)=f_x</math> המוגדר<math>\forall a\in A :\; f_x(a)=k</math> אם כאשר <math>a\in X_k</math> בתוך ה-כלומר שולחת איבר לאינדקס של הקבוצה שהוא נמצא בה בחלוקה. נוכיח שהפונקציה מוגדרת וחח"ע.  מוגדרת: כיוון ש x הוא חלוקה של A אזי האיבר a יופיע ויופיע בדיוק באחת מהקבוצות.  חח"ע: נניח <math>n(X_1,...,X_n)=x\neq x'=(X'_1,...,X'_m)</math>-יה הסדורה y. נוכיח שזו אזי קיים <math>X_i\not=X'_i</math>, לכן קיים יהיה <math>a\in X_i/X'_i</math> (או להיפך) ואז <math>i=f_x(a)\not= f_{x'}(a)</math> כלומר <math>g(x)\not=g(x') </math> דרך 2- נגדיר פונקציה מוגדרת היטב וחח"<math>g:X\to P(A)^{\mathbb{N}}</math> ע"י <math>g((X_1,. ..,X_n))(i) = \begin{cases}X_i & \text{if } 1\leq i \leq n \\ \emptyset & \text{if } n<i \end{cases} </math>

מוגדרת היטב: מכיוון שהקבוצות זרות ואיחודן שווה לA, האיבר קל לראות כי הפונקציה חח"ע ולכן <math> |X| \leq (2^{a יופיע בדיוק באחת מהן. })^{\aleph_0} = 2^{a\cdot \aleph_0} =2^a</math>

חח"ע: נניח דרך 3- נציג את X כאיחוד זר <math>y_1X=\neq y_2cup_{1<n\in \mathbb {N}}Y_n</math>. אזי יש איזה שתי תתי קבוצות כאשר <math>Y_n</math> זה חלוקות סדורות של A שונות ביניהםעם n קבוצות. כעת לכל n קיימת פונקציה <math>g:Y_n \to P(A)^n</math> המוגדרת <math>g((X_1, לכן יהיה איזה a באחת מהן שלא בשני שישלח למספר טבעי שונה...,X_n))=X_1 \times \cdots \times X_n</math> קל לראות שהיא חח"ע ולכן <math>|Y_n|=|A|^n =|A|</math> ולכן <math>|X|\leq \sum_{1<n\in \mathbb {N}}|A|=|A|\cdot \aleph_0 =|A|</math>

כעת, קל למצוא פונקציה חח"ע מקבוצת החזקה של A ל-Y X - נשלח כל תת קבוצה לזוג שמכיל אותה ואת המשלים שלה.

לכן <math>2^{|A|} \leq |YX| \leq |XY| = \aleph_0^{|A|}</math>העוצמה של אוסף הפונקציות , ולפי התכונות לעיל הינה <math>|\mathbb{N}|^{|A|}\leq 2^{|A|}</math>, וקבוצת החזקה הינה מעוצמה <math>2^{|A|}</math> ולכן סה"כ שני הקצוות שווים. לכן עוצמת Y X הינה <math>2^a</math>.

<math>|\mathbb{N}\cup YX|=\aleph_0+2^a=2^a</math>

<math>|\mathbb{N}\times YX|=\aleph_0\cdot 2^a=2^a</math>

<math>|YX|^{|\mathbb{N}|}=(2^a)^{\aleph_0}=2^{a\cdot \aleph_0}=2^a</math>

<math>|\mathbb{N}|^{|YX|}=(\aleph_0)^{2^a}=2^{2^a}</math>

בעצם אנו רוצים לחשב איחוד בן מנייה של קבוצות מעוצמת <math>\aleph</math>. לכל עותק של <math>\aleph</math> נתאים <math>A_n</math> קיימת פונקציה ופונקציה חח"ע ועל <math>g_nf_n:\mathbb{R}\rightarrow A_n</math>. לכן סה"כ נבנה כעת נגדיר פונקציה <math>fg:\mathbb{N}\times\mathbb{R}\rightarrow\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n</math> המוגדרת על ידי ע"י <math>fg(k,x)=g_kf_k(x)</math>. מכיוון שהקבוצות זרות ו<math>g_kf_k</math> חח"ע ברור שf שg חח"ע. מכיוון ש<math>g_kf_k</math> על גם f g על ולכן סה"כ עוצמת הסכום הינה <math>\aleph_0\cdot\aleph=\aleph</math>