שינויים
/* תרגיל (ממבחן) */
==אריתמטיקה של עוצמות==
'''הגדרה''' יהיו A,B קבוצות אזי <math>A^B:=\{f:B\rightarrow A\}</math>.
===תרגיל===
יהיו A,B,C קבוצות כך ש <math>|A|\leq |B|</math>. הוכיחו כי <math>|A^C|\leq|B^C|</math>.
פתרון: נתון שקיימת <math>f:A\to B</math> חח"ע. נגדיר <math>g:A^C\to B^C</math> ע"י <math>h:C\to A\mapsto f\circ h</math>. מתקיים כי g חח"ע כי f חח"ע ויש לה הפיכה שמאלית.
הערה: <math>|A|< |B|</math> '''לא''' גורר <math>|A^C|<|B^C|</math>.
===תרגיל===
הוכח שעוצמת קבוצת החזקה של A תמיד גדולה מעוצמתה של A
'''הוכחה.'''
יש התאמה חח"ע ועל <math>g:P(A)\to \{0,1\}^A</math> ע"י
<math>\forall B\subseteq A : g(B)=f_B=\chi_B</math>
לפי תרגיל קודם <math>|A|<|\{0,1\}^A|=|P(A)|</math>
'''הערה: (למי שלמד תורת הקבוצות)''' מסיבה זו אוסף העוצמות אינו קבוצה אלא מחלקה. שכן אם הוא היה קבוצה, הייתה לו עוצמה
===תרגיל===
לפי הבנייה <math>\forall a\in A f\not=f_a</math> כיוון ש <math>f(a)\not=f_a(a)</math>. סתירה לכך ש g על.
'''הגדרה:'''
**<math>a^0=1</math> שכן יש פונקציה יחידה מהקבוצה הריקה לכל מקום - היחס שהוא הקבוצה הריקה.
**<math>0^0=1</math> זה מקרה פרטי של הסעיף הקודם, ועדיין מתקיים
**<math>1^a=1</math>
**<math>a\neq 0 \rightarrow 0^a=0</math> אין אף פונקציה מקבוצה לא ריקה אל קבוצה ריקה, שכן יחס כזה לא יכול להיות שלם.
===תכונות האריתמטיקה===
נוכיח למשל <math>a^ba^c=a^{b+c}</math> יהיו <math>|A|=a,|B|=b,|C|=c</math> קבוצות זרות
נגדיר פונקציה מ <math>A^{B\cup C} \to A^B\times A^C</math> ע"י <math>f \mapsto (f|_B,f|_C)</math>. היא חח"ע ועל.
נוכיח למשל <math>(a^b)^c=a^{bc}</math> יהיו <math>|A|=a,|B|=b,|C|=c</math> קבוצות זרות
נגדיר פונקציה מ <math>(A^B)^C \to A^{B\times C} </math> ע"י <math>f \mapsto g(b,c)= f(c)(b)</math>. היא חח"ע ועל.
דרך ב- אריתמטיקה-
<math>\aleph \dots cdot \aleph=2^{\aleph_0}\cdot 2^{\aleph_0}=2^{\aleph_0+\aleph_0}=2^{\aleph_0}=\aleph </math>
דרך ג- מהנוסחא- <math>\aleph \dots cdot \aleph=max\{\aleph,\aleph\}=\aleph </math>
===תרגיל===
כיוון ש <math>\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}</math> מוכל בממשיים עוצמתה לכל היותר אלף. נניח בשלילה כי עוצמתה שווה a קטנה ממש מאלף אזי
<math>\aleph=|\mathbb{R}|=|\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}|+|\mathbb{Q}|=a+\aleph_oaleph_0=a<\aleph</math>. סתירה === תרגיל ===חשבו את <math>\aleph^{\aleph_0},{\aleph_0}^{\aleph}</math> פתרון: <math>\aleph^{\aleph_0}=\aleph,{\aleph_0}^{\aleph}=2^{\aleph}</math> הסיקו כי עוצמת קבוצת הפונקציות מהרציונאלים לממשיים היא <math>\aleph</math>. ===תרגיל===תהא <math>A</math> קבוצה אינסופית ו <math>B\subseteq A</math> תת קבוצה. הוכח/הפרך 1. <math>|A\backslash B|=|A|\Rightarrow |B|<|A|</math> 2. <math>|A\backslash B|=|A|\Leftarrow |B|<|A|</math> פתרון: 1. הפרכה: ניקח את השלמים והטבעיים 2. נכון כי ניתן להציג A כאיחוד זר <math>A=A\backslash B \cup B</math> ולכן <math>|A|=|A\backslash B| + |B|</math>. אם <math>|A\backslash B|<|A|</math> נקבל סתירה === תרגיל ===1. מה עוצמת <math>\mathbb{N}^\mathbb{N}</math> פתרון: <math>\aleph_0^{\aleph_0} =2^{\aleph_0} </math> 2. מה עוצמת <math>X=\{f\in \mathbb{N}^\mathbb{N}:f(1)\leq f(2)\}</math> פתרון: לכל היותר <math>\mathbb{N}^\mathbb{N}</math> ולכל הפחות <math>\mathbb{N}^\mathbb{N}</math> כי לכל <math>g\in \mathbb{N}^{\mathbb{N}\setminus \{1,2\}}</math> נתאים <math>f\in X</math> ע"י <math>f(1)=f(2)=1 </math> ועבור <math>x\neq 1,2</math> נגדיר <math>f(x)=g(x)</math> ולכן <math>|\mathbb{N}^{\mathbb{N}\setminus \{1,2\}}|\leq|X|\leq |\mathbb{N}^\mathbb{N}|</math> ולפי ק.ש.ב יש שיווון 3. מה עוצמת <math>X=\{f\in \mathbb{R}^\mathbb{R}:\forall x\notin \mathbb{Q} f(x)=1\}</math> פתרון: X שווה עוצמה ל <math>\mathbb{R}^{\mathbb{Q}}</math> כי <math>g\in\mathbb{R}^{\mathbb{Q}}</math> ממופה ל <math>f\in X</math> המוגדרת <math>f|_{\mathbb{Q}}=g,f|_{\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}=1</math> === תרגיל ===תהי <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> משפחה של קבוצות הזרות זו לזו כך שעוצמת כל אחת מהן ב<math>a</math>. נגדיר <math>\sum_{i\in I} a = |\bigcup_{i\in I}A_i|</math>. הוכח כי <math>\sum_{i\in I} a = |I|\cdot a</math> פתרון: תהא <math>A</math> קבוצה נוספת מעוצמה <math>a</math>. לכל <math>i\in I</math> קיימת פונקציה חח"ע ועל <math>f_i:A\rightarrow A_i</math>. כעת נגדיר פונקציה <math>g:I\times A\rightarrow\bigcup_{i\in I}A_i</math> ע"י <math>g(k,x)=f_k(x)</math>. מכיוון שהקבוצות זרות ו<math>f_k</math> חח"ע ברור שg חח"ע. מכיוון ש<math>f_k</math> על גם g על ולכן קיבלנו את המבוקש. === תרגיל ===נגדיר <math>F</math> להיות אוסף תתי הקבוצות הסופיות של הטבעיים <math>F=\{X\subseteq \mathbb{N}:|X|<\aleph_0\}</math>. מה עוצמתה? פתרון: לכל <math>i\in \mathbb{N}</math> נגדיר <math>F_i=\{X\subseteq \mathbb{N}:|X|=i\}</math> (אוסף תתי הקבוצות מגודל <math>i</math>). אזי <math>|F_i|\leq \aleph_0^i=\aleph_0</math> ואז <math>|F|=|\cup_{i\in \mathbb{N}}F_i|\leq \aleph_0\cdot \aleph_0 =\aleph_0</math> === תרגיל (בש.ב.)===נגדיר <math>A</math> להיות אוסף תתי הקבוצות האינסופיות של הטבעיים. מה עוצמתה? פתרון: מתקיים כי <math>P(\mathbb{N})=A\cup A^c</math> כאשר A היא תתי הקבוצות הסופיות מתרגיל קודם שעוצמת <math>\aleph_0</math> ולכן <math>2^{\aleph_0}=\aleph_0+|A^c|=\max\{\aleph_0,|A^c|\}=|A^c|</math> === תרגיל ===נגדיר <math>A=\{X\subseteq \mathbb{R}: |X|=\aleph_0 \}</math> ,מה עוצמתה? פתרון: לכל הפחות <math>2^{\aleph_0}</math> כי תתי הקבוצות האינסופיות של הטבעיים מעוצמה זאת. בצד שני נגדיר <math>F:\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to P(\mathbb{R})</math> ע"י<math>f\mapsto Im(f)</math> טענה: <math>A\subseteq Im(F)</math> הוכחה: תהא <math>X\in A</math> ומהגדרת A, נסיק כי X מעוצמה הטבעיים ולכן קיימת <math>f:\mathbb{N}\to X</math> חח"ע ועל ולכן <math>F(f)=Im(f)=X</math>. מסקנה מכך <math>|A|\leq |Im(F)|\leq |\mathbb{R}^{\mathbb{N}}|=\aleph^{\aleph_0}=\aleph</math>. לפי ק.ש.ב <math>|A|=2^{\aleph_0}=\aleph</math> === תרגיל === נגדיר <math>A=\{X\subseteq \mathbb{R}: |X|=\aleph \}</math> ,מה עוצמתה? פתרון: לכל היותר <math>2^\aleph</math> מצד שני <math>F:P((0,1))\to A </math> המוגדרת <math>B\mapsto B\cup (1,2)</math> חח"ע ולפי ק.ש.ב. סימנו
===תרגיל ממבחן תשסח מועד א (ד"ר שי סרוסי וד"ר אלי בגנו) ===
ולכן <math>2^{\aleph_0}=|P(\mathbb{N})|=2a=a</math>.
=== תרגיל ===
נגדיר <math>X=\left\{ 0,1\right\} ^{\mathbb{N}}</math> קבוצת כל הסדרות הבינאריות. נגדיר יחס <math>\sim</math> על <math>X</math> כך <math>f\sim g</math> אמ"מ הקבוצה<math>\left\{ n\in\mathbb{N}\mid f(n)\neq g(n)\right\}</math> סופית
הוכיחו כי <math>\sim</math> יח"ש
לכל <math>f\in X</math>, מצאו את העוצמה של <math>[f]</math>.
מצאו את העוצמה של קבוצת המנה.
=== תרגיל ===
תהא <math>X\subseteq P(\mathbb{N})</math>.
מצאו <math>X</math> המקיימת: כל <math>A,B\in X</math> שונות הן זרות (כלומר <math>A\cap B=\emptyset</math>).
ניח <math>X</math> מקיימת: כל <math>A,B\in X</math> שונות הן זרות. הוכיחו כי <math>X</math> בת מנייה.
תהא <math>C\subseteq\mathbb{N}</math>. נניח <math>X</math> מקיימת: החיתוך של <math>A,B\in X</math> שונות הוא <math>C</math> (כלומר <math>A\cap B=C</math>). הוכיחו כי <math>X</math> בת מנייה.
נניח <math>X</math> מקיימת: החיתוך של <math>A,B\in X</math> שונות הוא לכל היותר בן 10 איברים (כלומר <math>\left|A\cap B\right|\leq10</math> ). הוכיחו כי <math>X</math> בת מנייה.רמז: <math>\cup_{B\in I}X_{B}</math> כאשר <math>I=\left\{ B\subseteq\mathbb{N}\mid\left|B\right|=10\right\}</math> ו <math>X_{B}=\left\{ S\in X\mid B\subseteq S\right\}</math>
===תרגיל ממבחן תשע מועד א (ד"ר שי סרוסי וד"ר אפי כהן)===
מוגדרת: לפי ההגדרה של יחס השקילות אכן מתקיים <math>f-g\in \mathbb{Z}^{\mathbb{R}}</math>
נראה כי ל F קיימת הופכית. נגדיר <math>G: \mathbb{Z}^{\mathbb{R}} \to [f]</math>. ע"י <math>G(h):=f-h </math>. הפונקציה מוגדרת היטב כי <math>f-(f-h)\in \mathbb{Z}^{\mathbb{R}}</math> וקל לוודא שזוהי ההופכית
חח"ע: נניח <math>F(g)=F(h)</math> לכן <math>\forall x\in\mathbb{R} f(x)-g(x)=f(x)-h(x)</math> ולכן h=g.
נגדיר F פונקציה השולחת את <math>f\in\mathbb{R}^\mathbb{R}</math> לפונקציה <math>F(f):=f-\lfloor f\rfloor\in [0,1)^\mathbb{R}</math>. נראה ש-F מוגדרת היטב (על קבוצת המנה)וההפעלה שלה על קבוצת המנה תהיה חח"ע ועל.
מוגדרות: יהיו שתי פונקציות באותה מחלקת שקילות g,f. אזי, <math>F(g)-F(f)=g-\lfloor g\rfloor -f + \lfloor f\rfloor</math>. מכיוון שזהו הפרש של שני מספרים אי שליליים קטנים מאחד, זה שווה למספר אי שלילי שבערכו המוחלט קטן מאחד. מכיוון שההפרש בין f ל-g שלם, המספר הזה הוא שלם. המספר השלם האי שלילי היחיד שקטן מאחד הינו אפס
כלומר <math>F(f)=F(g)</math>. לכן הפונקציה F מוגדרת היטב שכן היא שולחת נציגים שונים של מחלקת שקילות לאותו מקום.
חח"ע: נניח <math>(X_1,...,X_n)=x\neq x'=(X'_1,...,X'_m)</math>. אזי קיים <math>X_i\not=X'_i</math>, לכן קיים יהיה <math>a\in X_i/X'_i</math> (או להיפך) ואז <math>i=f_x(a)\not= f_{x'}(a)</math>
כלומר <math>g(x)\not=g(x') </math>
דרך 2- נגדיר פונקציה <math>g:X\to P(A)^{\mathbb{N}}</math> ע"י <math>g((X_1,...,X_n))(i) = \begin{cases}X_i & \text{if } 1\leq i \leq n \\ \emptyset & \text{if } n<i \end{cases} </math>
קל לראות כי הפונקציה חח"ע ולכן <math> |X| \leq (2^{a})^{\aleph_0} = 2^{a\cdot \aleph_0} =2^a</math>
דרך 3- נציג את X כאיחוד זר <math>X=\cup_{1<n\in \mathbb {N}}Y_n</math> כאשר <math>Y_n</math> זה חלוקות סדורות של A עם n קבוצות. כעת לכל n קיימת פונקציה <math>g:Y_n \to P(A)^n</math>
המוגדרת <math>g((X_1,...,X_n))=X_1 \times \cdots \times X_n</math> קל לראות שהיא חח"ע ולכן <math>|Y_n|=|A|^n =|A|</math> ולכן <math>|X|\leq \sum_{1<n\in \mathbb {N}}|A|=|A|\cdot \aleph_0 =|A|</math>
כעת, קל למצוא פונקציה חח"ע מקבוצת החזקה של A ל-X - נשלח כל תת קבוצה לזוג שמכיל אותה ואת המשלים שלה.
