שינויים
/* תרגיל (ממבחן) */
כיוון ש <math>\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}</math> מוכל בממשיים עוצמתה לכל היותר אלף. נניח בשלילה כי עוצמתה שווה a קטנה ממש מאלף אזי
<math>\aleph=|\mathbb{R}|=|\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}|+|\mathbb{Q}|=a+\aleph_0=a<\aleph</math>. סתירה
=== תרגיל ===
חשבו את <math>\aleph^{\aleph_0},{\aleph_0}^{\aleph}</math>
פתרון: <math>\aleph^{\aleph_0}=\aleph,{\aleph_0}^{\aleph}=2^{\aleph}</math>
הסיקו כי עוצמת קבוצת הפונקציות מהרציונאלים לממשיים היא <math>\aleph</math>.
===תרגיל===
1. מה עוצמת <math>\mathbb{N}^\mathbb{N}</math>
פתרון: <math>\aleph_0^{\aleph_0} =2^{\aleph_0 } </math>
2. מה עוצמת <math>X=\{f\in \mathbb{N}^\mathbb{N}:f(1)\leq f(2)\}</math>
פתרון: לכל היותר <math>\mathbb{N}^\mathbb{N}</math> ולכן ולכל הפחות <math>\mathbb{N}^\mathbb{N}</math> כי לכל <math>g\in \{\mathbb{N}^({\mathbb{N}\setminus \{1,2\})\}</math> נתאים <math>f\in X</math> ע"י <math>f(1)=f(2)=1 </math> ועבור <math>x\neq 1,2</math> נגדיר <math>f(x)=g(x)</math> ולכן <math>|\mathbb{N}^({\mathbb{N}\setminus \{1,2\})}|\leq|X|\leq |\mathbb{N}^\mathbb{N}|</math> ולפי ק.ש.ב יש שיווון 3. מה עוצמת <math>X=\{f\in \mathbb{R}^\mathbb{R}:\forall x\notin \mathbb{Q} f(x)=1\}</math> פתרון: X שווה עוצמה ל <math>\mathbb{R}^{\mathbb{Q}}</math> כי <math>g\in\mathbb{R}^{\mathbb{Q}}</math> ממופה ל <math>f\in X</math> המוגדרת <math>f|_{\mathbb{Q}}=g,f|_{\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}=1</math>
=== תרגיל ===
לכל <math>i\in I</math> קיימת פונקציה חח"ע ועל
<math>f_i:A\rightarrow A_i</math>.
כעת נגדיר פונקציה <math>g:I\times aA\rightarrow\bigcup_{i\in I}A_i</math> ע"י <math>g(k,x)=f_k(x)</math>. מכיוון שהקבוצות זרות ו<math>f_k</math> חח"ע ברור שg חח"ע. מכיוון ש<math>f_k</math> על גם g על ולכן קיבלנו את המבוקש. === תרגיל ===נגדיר <math>F</math> להיות אוסף תתי הקבוצות הסופיות של הטבעיים <math>F=\{X\subseteq \mathbb{N}:|X|<\aleph_0\}</math>. מה עוצמתה? פתרון: לכל <math>i\in \mathbb{N}</math> נגדיר <math>F_i=\{X\subseteq \mathbb{N}:|X|=i\}</math> (אוסף תתי הקבוצות מגודל <math>i</math>). אזי <math>|F_i|\leq \aleph_0^i=\aleph_0</math> ואז <math>|F|=|\cup_{i\in \mathbb{N}}F_i|\leq \aleph_0\cdot \aleph_0 =\aleph_0</math> === תרגיל (בש.ב.)===נגדיר <math>A</math> להיות אוסף תתי הקבוצות האינסופיות של הטבעיים. מה עוצמתה? פתרון: מתקיים כי <math>P(\mathbb{N})=A\cup A^c</math> כאשר A היא תתי הקבוצות הסופיות מתרגיל קודם שעוצמת <math>\aleph_0</math> ולכן <math>2^{\aleph_0}=\aleph_0+|A^c|=\max\{\aleph_0,|A^c|\}=|A^c|</math> === תרגיל ===נגדיר <math>A=\{X\subseteq \mathbb{R}: |X|=\aleph_0 \}</math> ,מה עוצמתה? פתרון: לכל הפחות <math>2^{\aleph_0}</math> כי תתי הקבוצות האינסופיות של הטבעיים מעוצמה זאת. בצד שני נגדיר <math>F:\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to P(\mathbb{R})</math> ע"י<math>f\mapsto Im(f)</math> טענה: <math>A\subseteq Im(F)</math> הוכחה: תהא <math>X\in A</math> ומהגדרת A, נסיק כי X מעוצמה הטבעיים ולכן קיימת <math>f:\mathbb{N}\to X</math> חח"ע ועל ולכן <math>F(f)=Im(f)=X</math>. מסקנה מכך <math>|A|\leq |Im(F)|\leq |\mathbb{R}^{\mathbb{N}}|=\aleph^{\aleph_0}=\aleph</math>. לפי ק.ש.ב <math>|A|=2^{\aleph_0}=\aleph</math> === תרגיל === נגדיר <math>A=\{X\subseteq \mathbb{R}: |X|=\aleph \}</math> ,מה עוצמתה? פתרון: לכל היותר <math>2^\aleph</math> מצד שני <math>F:P((0,1))\to A </math> המוגדרת <math>B\mapsto B\cup (1,2)</math> חח"ע ולפי ק.ש.ב. סימנו
===תרגיל ממבחן תשסח מועד א (ד"ר שי סרוסי וד"ר אלי בגנו) ===
ה: נסמן <math>|W|=a</math>. בנוסף <math>\bigcup_{\{A,A^c\}\in W}\{A,A^c\}=P(\mathbb{N})</math>
ולכן <math>2^{\aleph_0}=|P(\mathbb{N})|=2a=a</math>.
=== תרגיל ===
נגדיר <math>X=\left\{ 0,1\right\} ^{\mathbb{N}}</math> קבוצת כל הסדרות הבינאריות. נגדיר יחס <math>\sim</math> על <math>X</math> כך <math>f\sim g</math> אמ"מ הקבוצה<math>\left\{ n\in\mathbb{N}\mid f(n)\neq g(n)\right\}</math> סופית
הוכיחו כי <math>\sim</math> יח"ש
לכל <math>f\in X</math>, מצאו את העוצמה של <math>[f]</math>.
מצאו את העוצמה של קבוצת המנה.
=== תרגיל ===
תהא <math>X\subseteq P(\mathbb{N})</math>.
מצאו <math>X</math> המקיימת: כל <math>A,B\in X</math> שונות הן זרות (כלומר <math>A\cap B=\emptyset</math>).
ניח <math>X</math> מקיימת: כל <math>A,B\in X</math> שונות הן זרות. הוכיחו כי <math>X</math> בת מנייה.
תהא <math>C\subseteq\mathbb{N}</math>. נניח <math>X</math> מקיימת: החיתוך של <math>A,B\in X</math> שונות הוא <math>C</math> (כלומר <math>A\cap B=C</math>). הוכיחו כי <math>X</math> בת מנייה.
נניח <math>X</math> מקיימת: החיתוך של <math>A,B\in X</math> שונות הוא לכל היותר בן 10 איברים (כלומר <math>\left|A\cap B\right|\leq10</math> ). הוכיחו כי <math>X</math> בת מנייה.רמז: <math>\cup_{B\in I}X_{B}</math> כאשר <math>I=\left\{ B\subseteq\mathbb{N}\mid\left|B\right|=10\right\}</math> ו <math>X_{B}=\left\{ S\in X\mid B\subseteq S\right\}</math>
===תרגיל ממבחן תשע מועד א (ד"ר שי סרוסי וד"ר אפי כהן)===
דרך 2- נגדיר פונקציה <math>g:X\to P(A)^{\mathbb{N}}</math> ע"י <math>g((X_1,...,X_n))(i) = \begin{cases}X_i & \text{if } 1\leq i \leq n \\ \emptyset & \text{if } n<i \end{cases} </math>
קל לראות כי הפונקציה חח"ע ולכן <math> |X| =(\leq (2^{|A|a})^{\aleph_0} = \leq 2^{|A|a\cdot \aleph_0} =2^{|A|}a</math>
דרך 3- נציג את X כאיחוד זר <math>X=\cup_{1<n\in \mathbb {N}}Y_n</math> כאשר <math>Y_n</math> זה חלוקות סדורות של A עם n קבוצות. כעת לכל n קיימת פונקציה <math>g:Y_n \to P(A)^n</math>
