שינויים
/* תרגיל (ממבחן) */
פתרון: לכל הפחות <math>2^{\aleph_0}</math> כי תתי הקבוצות האינסופיות של הטבעיים מעוצמה זאת. בצד שני נגדיר <math>F:\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to P(\mathbb{R})</math> ע"י
<math>f\mapsto Im(f)</math> טענה: <math>A\subseteq Im(F)</math> הוכחה: תהא <math>X\in A</math> ומהגדרת A, נסיק כי X מעוצמה הטבעיים ולכן קיימת <math>f:\mathbb{RN}\to X</math> חח"ע ועל ולכן <math>F(f)=Im(f)=X</math>. מסקנה מכך <math>|A|\leq |Im(F)|\leq |\mathbb{R}^{\mathbb{N}}|=\aleph^{\aleph_0}=\aleph</math>. לפי ק.ש.ב <math>|A|=2^{\aleph_0}=\aleph</math>
=== תרגיל ===
ה: נסמן <math>|W|=a</math>. בנוסף <math>\bigcup_{\{A,A^c\}\in W}\{A,A^c\}=P(\mathbb{N})</math>
ולכן <math>2^{\aleph_0}=|P(\mathbb{N})|=2a=a</math>.
=== תרגיל ===
נגדיר <math>X=\left\{ 0,1\right\} ^{\mathbb{N}}</math> קבוצת כל הסדרות הבינאריות. נגדיר יחס <math>\sim</math> על <math>X</math> כך <math>f\sim g</math> אמ"מ הקבוצה<math>\left\{ n\in\mathbb{N}\mid f(n)\neq g(n)\right\}</math> סופית
הוכיחו כי <math>\sim</math> יח"ש
לכל <math>f\in X</math>, מצאו את העוצמה של <math>[f]</math>.
מצאו את העוצמה של קבוצת המנה.
=== תרגיל ===
תהא <math>X\subseteq P(\mathbb{N})</math>.
מצאו <math>X</math> המקיימת: כל <math>A,B\in X</math> שונות הן זרות (כלומר <math>A\cap B=\emptyset</math>).
ניח <math>X</math> מקיימת: כל <math>A,B\in X</math> שונות הן זרות. הוכיחו כי <math>X</math> בת מנייה.
תהא <math>C\subseteq\mathbb{N}</math>. נניח <math>X</math> מקיימת: החיתוך של <math>A,B\in X</math> שונות הוא <math>C</math> (כלומר <math>A\cap B=C</math>). הוכיחו כי <math>X</math> בת מנייה.
נניח <math>X</math> מקיימת: החיתוך של <math>A,B\in X</math> שונות הוא לכל היותר בן 10 איברים (כלומר <math>\left|A\cap B\right|\leq10</math> ). הוכיחו כי <math>X</math> בת מנייה.רמז: <math>\cup_{B\in I}X_{B}</math> כאשר <math>I=\left\{ B\subseteq\mathbb{N}\mid\left|B\right|=10\right\}</math> ו <math>X_{B}=\left\{ S\in X\mid B\subseteq S\right\}</math>
===תרגיל ממבחן תשע מועד א (ד"ר שי סרוסי וד"ר אפי כהן)===
