א. תהי A קבוצה אינסופית מעוצמה a.
:1. נגדיר עבור <math>2\leq n\in\mathbb{N}</math> את הקבוצה הבאה: <math>Y=\{(X_1,...,X_n):n\in\mathbb{N}\and\Big[\bigcup_i X_i=A\Big] \and \Big[\forall i\neq j: X_i\cap X_j = \phi\Big]\}</math>. '''הוכח''' <math>|Y|=2^a</math>
:2. מצא את <math>|\mathbb{N}\times Y|,|\mathbb{N}\cup Y|</math> וגם את <math>|Y|^{|\mathbb{N}|},|\mathbb{N}|^{|Y|}</math>
חשב את <math>\sum_{n\in\mathbb{N}}\aleph</math>
'''פתרון.'''
א.
:1. נביט באוסף הפונקציות <math>X=\{f:A\rightarrow\mathbb{N}\}</math>. נגדיר <math>g:Y\rightarrow X</math> על ידי <math>g(y)(a)=k</math> אם <math>a\in X_k</math> בתוך הn-יה הסדורה y. נוכיח שזו פונקציה מוגדרת היטב, חח"ע ועל.
מוגדרת היטב: מכיוון שהקבוצות זרות ואיחודן שווה לA, האיבר a יופיע בדיוק באחת מהן.
חח"ע: נניח <math>y_1\neq y_2</math> אזי יש איזה שתי תתי קבוצות של A שונות ביניהם, לכן יהיה איזה a באחת מהן שלא בשני שישלח למספר טבעי שונה.
כעת, קל למצוא פונקציה חח"ע מקבוצת החזקה של A לY - נשלח כל תת קבוצה לזוג שמכיל אותה ואת המשלים שלה. את הקבוצה הריקה נשלח לשלישיה כלשהי.
העוצמה של אוסף הפונקציות לעיל הינה <math>|\mathbb{N}|^{|A|}\leq 2^{|A|}</math>, וקבוצת החזקה הינה מעוצמה <math>2^{|A|}</math> ולכן סה"כ עוצמת Y הינה <math>2^a</math>.