שינויים
/* הלמה של צורן */
'''הלמה של צורן.''' תהי A קבוצה סדורה חלקית '''לא ריקה''' כך שלכל שרשרת המוכלת בA קיים חסם מלעיל מA. אזי קיים בA איבר מקסימלי (איבר שאין איבר שונה ממנו הגדול ממנו).
הלמה של צורן שקולה ל'''אקסיומת הבחירה.''' תהי <math>\{A_i\}_i{\in I}</math> משפחה של קבוצות. אזי קיימת פונקציה <math>f:\{A_i\}_{i\in I}\rightarrow\bigcup_{i\in I}A_i </math> המקיימת <math>\forall i\in I:f(A_i)\in A_i</math>. במילים פשוטות: ניתן לבנות פונקציה הבוחרת נציג מכל קבוצה.
'''דוגמא.''' תהי <math>f:A\rightarrow B</math> פונקציה. הוכח שקיים צמצום חח"ע של f בעל תמונה זהה ל-f.
'''הוכחה(באמצעות אקסיומת הבחירה).''' נציג את A כאיחוד אוסף המקורות של כל התמונות של הפונקציה <math>A=\bigcup_{b\in im(f)}f^{-1}\Big[\{b\}\Big]</math>. לפי אקסיומת הבחירה ניתן לבנות פונקציה
<math>g:\Big\{f^{-1}\Big[\{b\}\Big]:b\in im(f)\Big\}\rightarrow A</math> השולחת כל קבוצת מקורות לנציג כלשהו שלה.
נוכיח כי <math>h:=f|_{im(g)}</math> הינה חח"ע והתמונה שלה שווה לזו של f. נניח <math>h(a)=h(b)</math> לכן <math>a,b\in f^{-1}\Big[\{h(a)\}\Big]</math> אבל כל מקור של תמונה נשלח לנציג '''יחיד''' על ידי g אחרת זו סתירה לחד ערכיות ולכך ש-g הינה פונקציה. כמו כן, מכיוון שמכל מקור נבחר נציג, כל התמונה של f מתקבלת.
'''הוכחה (באמצעות הלמה של צורן).'''. נביט באוסף תתי הקבוצות של A כך שהצמצום של f עליהן חח"ע. קל להוכיח כי האיחוד הכללי של שרשרת באוסף זה גם שייך לאוסף, ולכן יש קבוצה מקסימלית שהצמצום של f עליה הינו חח"ע.
כיוון שזו קבוצה מקסימלית, לא ניתן להוסיף לה איברים נוספים ולהגדיל את התמונה, ומכאן ישנן שתי אופציות- הקבוצה המקסימלית היא A כולה (ואז f חח"ע וסיימנו) או, שלא קיים איבר נוסף בתמונה של f שלא קיבלנו כבר (ולכן התמונה של הצמצום זהה לתמונה של כל f כפי שרצינו).
