שינויים
/* הלמה של צורן */
נניח שקיים איבר שאין לו הפרש רציונאלי עם אף איבר בC. אזי אם נוסיף אותו לC נקבל קבוצה מגניבה המכילה ממש את C בסתירה.
'''תרגיל.''' הוכח שלכל מרחב וקטורי קיים בסיס
לכן יש קבוצה בת"ל מקסימלית, קל להוכיח שהיא פורשת ולכן מהווה בסיס.
'''תרגיל.''' תהיינה <math>a<b</math> עוצמות אינסופיות, ותהי קבוצה B כך ש <math>|B|=b</math>
א. הוכח כי קיימת ל-B תת קבוצה A מעוצמה a
ב. הוכח כי B היא איחוד זר של קבוצות אשר כל אחת מהן מעוצמה a.
'''פתרון''':
א. מההגדרה של השוואת עוצמות, קיימת פונקציה חח"ע מקבוצה בעוצמת a אל תוך B. התמונה של פונקציה זו הינה תת קבוצה A בתוך B מעוצמה a.
ב. נביט באוסף כל האוספים של תתי קבוצות זרות של B שכל אחת מהן מעוצמה a. קל להראות שהאיחוד הכללי על כל שרשרת באוסף זה שייך לאוסף זה גם כן. לכן לפי הלמה של צורן יש אוסף מקסימלי של קבוצות מעוצמה a.
כעת ישנן שתי אופציות:
1. האיחוד הכללי על האוסף הנתון הוא כל B (סיימנו)
2. ההפרש בין B לבין האיחוד הכללי הוא קבוצה מעוצמה קטנה ממש מ-a. נוסיף אותה לאחת הקבוצות וקיבלנו את המשל.
