שינויים
/* הלמה של צורן */
'''הוכחה (באמצעות הלמה של צורן).'''. נביט באוסף תתי הקבוצות של A כך שהצמצום של f עליהן חח"ע. קל להוכיח כי האיחוד הכללי של שרשרת באוסף זה גם שייך לאוסף, ולכן יש קבוצה מקסימלית שהצמצום של f עליה הינו חח"ע.
ה: יהיו <math>x\not=y \in B</math> אזי קיים <math>i\in I</math> כך ש <math>x\not=y \in B_i</math>
כיוון שהצמצום של f על <math>B_i</math> היא חח"ע נקבל כי <math>f(x)\not=f(y)</math>
לפי הלמה של צורן קיים <math>B\subseteq A </math> מקסמאלית כך ש f מצומצמת עליה חח"ע.
ט: <math>im(f|_B)=im(f)</math>
ה: אחרת קיים <math>y\in im(f)/ im(f|_B)</math> נבחר מקור <math>x\in A</math> ל <math>y</math>
ואז <math>B\cup \{x\}</math> קבוצה שמכילה ממש את <math>B</math> והצמצום של f עליה חח"ע. סתירה.
'''תרגיל'''
תהא <math>X</math>. קבוצה <math>F\subseteq P(X)</math> תקרא בוב אם:
א. <math>X\in F</math>
ב. <math>B,C\in F \Rightarrow B\cap C \in F</math>
ג. <math>B in A \land B\subset C \Rightarrow C\in F</math>
הוכח שלכל קבוצה <math>A\subseteq P(X)</math> קיים <math>F</math> בוב מינמאלי שמכיל אותה
(כלומר אם <math>A\subseteq F'</math> בוב אזי <math>F\subseteq F'</math>)
הוכחה:
נגדיר <math>\{F|A\subseteq F \land F is bob\}</math> ונגדיר יחס <math>R</math> של "הכלה הפוכה"
(<math>ARB\iff B\subseteq A</math> )
אזי לכל שרשרת <math>\{F_i\}_{i\in I}</math> של בובים יש איבר מקסמאלי ביחס ל <math>R</math> שהוא
<math>F:=\bigcup_{i\in I}F_i</math>. נראה ש <math>F</math> בוב.
א. <math>\forall i: X\in F_i</math> ולכן נמצא גם בחיתוך.
ב. <math>B,C\in F \Rightarrow \forall i B,C\in F_i \Rightarrow \forall i B\cap C \in F_i \Rightarrow \ B\cap C \in F</math>
ג. באופן דומה.
לפי הלמה של צורן קיים איבר מקס' ביחס ל <math>R</math> שזה איבר מיני' ביחס להכלה רגילה.
