שינויים
/* הלמה של צורן */
'''הוכחה (באמצעות הלמה של צורן).'''. נביט באוסף תתי הקבוצות של A כך שהצמצום של f עליהן חח"ע. (האוסף לא ריק כי תמיד אפשר להצטמצם לקבוצה הריקה)
ט: תהא <math>\{B_i\}_{i\in I}</math> שרשרת כלשהיא של קבוצת שהצמצום של f עליהם חח"ע אזי הצמצום של f על <math>B:=\bigcup_{i\in I}B_i</math> ג"כ חח"ע
'''תרגיל ממבחן תשס"ט מועד א' (ד"ר שי סרוסי וד"ר אלי בגנו).''' קבוצה נקראת "מגניבה" אם ההפרש בין כל שני איברים שונים בה אינו רציונאלי. הוכח כי קיימת קבוצה מגניבה C כך שלכל <math>C\subset B</math> מתקיים כי B אינה מגניבה. כמו כן, הוכח שמתקיים שלכל איבר שאינו ב-C יש איבר מ-C אשר ההפרש בינהם רציונאלי.
'''הוכחה.''' נביט באוסף הקבוצות המגניבות וביחס ההכלה(האוסף לא ריק כי כל נקודון הוא קבוצה מגניבה). לכל שרשרת של קבוצות מגניבות מתקיים כי האיחוד הכללי שלהן הינו קבוצה מגניבה. אמנם, אם x,y באיחוד הכללי אזי קיימות קבוצות בשרשרת S,T כך ש <math>x\in S \and y\in T</math>. מכיוון שזו שרשרת, ניתן ללא הגבלת הכלליות לומר כי <math>S\subseteq T</math> ולכן <math>x,y\in T</math> ולכן ההפרש בינהן אינו רציונאלי כפי שרצינו.
אם כן, האיחוד הכללי הינו חסם מקסימלי של השרשרת (כי הוא מכיל את כל הקבוצות בשרשרת) מתוך אוסף הקבוצות המגניבות, ולכן לפי הלמה של צורן קיימת קבוצה מגניבה מקסימלית ביחס להכלה. זה אומר שכל קבוצה מגניבה המכילה את C שווה לה.
'''תרגיל.''' הוכח שלכל מרחב וקטורי קיים בסיס
'''הוכחה.''' יהיה<math> V </math> מרחב וקטורי. נביט באוסף הקבוצות הבלתי תלויות שלו <math>\{B\subseteq | B \; is \; linearly \; independent \}</math>.(האוסף לא ריק כי וקטור בודד שונה מאפס מהווה קבוצה בת"ל)
תהא <math>\{B_i\}_{i\in I}</math> שרשרת של קבוצות בת"ל.
ב. נביט באוסף כל האוספים של תתי קבוצות זרות של A שכל אחת מהן מעוצמה a. (האוסף לא ריק לפי סעיף קודם)
תהא <math>\{B_i\}_{i\in I}</math> שרשרת של קבוצות כך שכל אחת <math>B_i\in P(A) </math> אוסף של תתי קבוצות זרות של A מעוצמה a.
ב. <math>B,C\in F \Rightarrow B\cap C \in F</math>
ג. <math>B \in A F \land B\subset C \Rightarrow C\in F</math>
הוכח שלכל קבוצה <math>A\subseteq P(X)</math> קיים <math>F</math> בוב מינמאלי שמכיל אותה
הוכחה:
נגדיר <math>\{F|A\subseteq F \land F \; is \; bob\}</math> ונגדיר יחס <math>R</math> של "הכלה הפוכה"
(<math>ARB\iff B\subseteq A</math> ) (האוסף לא ריק כי <math>P(X)</math> היא בוב שמכיל את A )
אזי לכל שרשרת <math>\{F_i\}_{i\in I}</math> של בובים יש איבר מקסמאלי ביחס ל <math>R</math> שהוא
<math>F:=\bigcap_{i\in I}F_i</math>. נראה ש <math>F</math> בוב.
