שינויים
'''תרגיל.''' תהיינה <math>a<b</math> עוצמות אינסופיות, ותהי קבוצה A B כך ש <math>|AB|=b</math>
א. הוכח כי קיימת ל-'A B תת קבוצה A מעוצמה a
ב. הוכח כי B היא איחוד זר של קבוצות אשר כל אחת מהן מעוצמה a.
'''פתרון''':
א. מההגדרה של השוואת עוצמות, קיימת פונקציה חח"ע מקבוצה בעוצמת a אל תוך AB. התמונה של פונקציה זו הינה תת קבוצה 'A בתוך A B מעוצמה a.
ב. נביט באוסף כל האוספים של תתי קבוצות זרות של A B שכל אחת מהן מעוצמה a. (האוסף לא ריק לפי סעיף קודם)
תהא <math>\{B_i\}_{i\in I}</math> שרשרת של קבוצות כך שכל אחת <math>B_i\in P(P(A)) </math> אוסף של תתי קבוצות זרות של A B מעוצמה a.
ט: <math>BX:=\bigcup_{i\in I}B_i</math> הינו חסם מלעיל של השרשרת.
ה: לכל 2 תתי קבוצות של A B ששיכות ל B X קיים <math>i\in I</math> כך ששתי תתי הקבוצות שיכות ל <math>B_i</math> ולכן זרות.בנוסף כל תת קבוצה של A B ששיכת ל B X שייכת ל <math>Bֹ_iB_i</math> כלשהוא ולכן מעוצמה a.
לפי הלמה של צורן קיים איבר אוסף מקס' BS
אם <math>\bigcup_{A'\in B}A'bigcup S=AB</math> אז סיימנו
אחרת קיים <math>A''D:=AB/\bigcup_{A'\in B}A'bigcup S</math> לא ריקה. אם העוצמה של D גדולה שווה מ a אזי יש לה תת קבוצה מעוצמה a שנוכל לצרף ל B S וזה יהיה סתירה למקס' של BS. אם העוצמה שלה קטנה מ a אז נוכל לצרף אותה לאחת מ מהקבוצות ב<math>A'\in BS</math> ואז נקבל אוסף של קבוצות מעוצמה a שאיחודם כל A (כי <math>|A'\cup A''|=a</math>)שווה B.
