שינויים

נגדיר <math>\mathcal{O}= \{fA'\subseteq A\times B\mid f |_{A'} \text{ is 1-1 function}\}</math> להיות קבוצה כל הפונקציה מתת קבוצה תתי הקבוצות של A ל B שהיא שהצמצום של f עליהם היא חח"ע. נסתכל על הקסח <math>\mathcal{O}</math> עם יחס ההכלה. ונסתכל על השרשרת <math>\{\emptyset\}</math> (שימו לב שהקבוצה שהצמצום לפונקציה הריקה היא פונקציה הפונקציה (הקבוצה) הריקה והיא חח"ע מ הקבוצה הריקה ל B). לפי עקרון המקסימום של האוסדורף קיימת שרשרת מקסמאלית C המכילה את <math>\{\emptyset\}</math>. נגדיר <math>\hat{A} = \cup_{A'\in C}f</math>.  ט: צמצום f על <math>\hat{A}</math> היא חח"ע ה: נניח <math>x_1\neq x_2\in \hat{A}</math> אזי קיימות <math>A'_1,A'_2\in C</math> כך ש <math>x_i\in A'_i</math>. מכיוון ש C שרשרת נקבל ש <math>A'_1\subseteq A'_2</math> או להיפך. בה"כ <math>A'_1\subseteq A'_2</math> ולכן <math>x_1,x_2\in A'_2</math> ומכיוון שהצמצום של f על <math> A'_2</math> היא חח"ע, נקבל כי <math>x_1,x_2</math> ממופים לתמונת שונות כנדרש. ט: התמוננה של הצמצום של f על <math>\hat{A}</math> היא B