שינויים

ט: תהא <math>\{B_iA'_i\}_{i\in I}</math> שרשרת כלשהיא של קבוצת שהצמצום של f עליהם חח"ע אזי הצמצום של f על <math>B\hat{A}:=\bigcup_{i\in I}B_iA'_i</math> ג"כ חח"ע

ה: יהיו <math>x\not=y \in B\hat{A}</math> אזי קיים <math>j,i\in I</math> כך ש <math>x \in B_iA'_i, y \in B_jA'_j</math>. כיוון שמדובר בשרשרת (היחס מצומצם אליה הוא יחס מלא) אזי

או ש <math>B_i A'_i \subseteq B_jA'_j</math> או <math>B_j A'_j \subseteq B_iA'_i</math> נניח בה"כ <math>B_j A'_j \subseteq B_iA'_i</math> אזי <math>x\not= y \in B_i A'_i </math>כיוון שהצמצום של f על <math>B_iA'_i</math> היא חח"ע נקבל כי <math>f(x)\not=f(y)</math>

לפי הלמה של צורן קיים <math>B\hat{A}\subseteq A </math> מקסמאלית כך ש f מצומצמת עליה חח"ע.

ט: <math>im(f|_B_{\hat{A}})=im(f)</math>

ה: אחרת קיים <math>y\in im(f)/ im(f|_B_{\hat{A}})</math> נבחר מקור <math>x\in A</math> ל <math>y</math>ואז <math>B\hat{A}\cup \{x\}</math> קבוצה שמכילה ממש את <math>B\hat{A}</math> והצמצום של f עליה חח"ע. סתירה.