שינויים
/* תרגיל */
===תרגיל===
הוכח שלכל מרחב וקטורי קיים בסיס(גם אם המרחב אינו מימד סופי)
====הוכחה====
יהיה<math> V </math> מרחב וקטורי. ונרצה להוכיח שקיים בסיס למרחב===== לפי הלמה של צורן =====נביט באוסף הקבוצות הבלתי תלויות שלו <math>\{B\subseteq V| B \; is \; linearly \; independent \}</math>. (האוסף לא ריק כי וקטור בודד שונה מאפס מהווה קבוצה ריקה היא קבוצה בת"ל)
תהא <math>\{B_i\}_{i\in I}</math> שרשרת של קבוצות בת"ל.
ה: אחרת קיים <math>v\in V\backslash span(B)</math> אבל אז <math>B\cup \{v\} </math> מכילה ממש את B וגם בת"ל. סתירה למקס' של B.
===== לפי עקרון המקסימום של האוסדורף =====
נגדיר <math>\mathcal{O}</math> אוסף הקבוצות הבלתי תלויות שמוכלות במרחב. כלומר <math>\{B\subseteq V| B \; is \; linearly \; independent \}</math>. בקס"ח <math>\mathcal{O}</math> סדורה ע"י הכלה מתקיים כי <math>\{\emptyset\}</math> היא שרשרת (קבוצה ריקה היא בת"ל) ולכן היא מוכל בשרשרת מקסימאלית C. נגדיר <math>B=\cup_{B'\in C}B'</math>
ט: <math>B</math> בת"ל
ה: יהיה <math>\alpha_1 v_1 +\cdots +\alpha_n v_n =0</math> צ"ל של וקטורים מ B שמתאפס אזי כל וקטור שייך לאיזה שהוא <math>B_j\in C</math>. כיוון ש C שרשרת אזי כל הוקטורים נמצאים באותה קבוצה.
כלומר <math>\exists k\in I \forall i : v_i \in B_k</math> כיוון ש <math>B_k</math> קבוצה בת"ל נקבל שכל המקדמים שווים לאפס.
ט: <math>B</math> פורשת (ולכן מהווה בסיס).
ה: אחרת קיים <math>v\in V\backslash span(B)</math> אבל אז <math>B\cup \{v\} </math> מכילה ממש את B וגם בת"ל. ולכן אם נוסיף קבוצה זאת ל C נקבל שרשרת שמכילה ממש את C בסתירה למקסימאליות של C.
===תרגיל===
