שינויים
/* תרגיל */
א. <math>X\in F</math>
ב. <math>B,C\in F \Rightarrow B\cap C \in F</math>(סגורה לחיתוכים סופיים)
ג. <math>B \in F \land B\subset C \Rightarrow C\in F</math>(סגורה כלפי מעלה)
הוכח שלכל קבוצה <math>A\subseteq P(X)</math> קיים <math>F</math> בוב מינמאלי שמכיל אותה
====הוכחה====
===== לפי הלמה של צורן =====
נגדיר <math>\{F|A\subseteq F \land F \; is \; bob\}</math> ונגדיר יחס <math>R</math> של "הכלה הפוכה"
(<math>ARB\iff B\subseteq A</math> ) (האוסף לא ריק כי <math>P(X)</math> היא בוב שמכיל את A )
לפי הלמה של צורן קיים איבר מקס' ביחס ל <math>F'</math> שזה איבר מיני' ביחס להכלה רגילה.
===== לפי עקרון המקסימום של האוסדורף =====
נגדיר <math>\mathcal{O}=\{F|A\subseteq F \land F \; is \; bob\}</math> כל קבוצות בוב שמכילות של A, מסודרת לפי היחס "הכלה הפוכה" (כלומר במקום <math>\subseteq</math> נעבוד עם <math>\supseteq</math>). מתקיים כי <math>\{X\}</math> היא שרשרת (שימו לב ש X היא בוב ומכילה את Aׂ) ולכן מוכלת בשרשרת מקסימאלית <math>\mathcal{C}</math>.
נגדיר <math>F=\cap_{F'\in \mathcal{C}}F'</math>.
ט: F היא בוב שמכילה את A.
ה: כיוון שכל <math>F'\in \mathcal{C}</math> מכיל את A אז גם החיתוך של כולם. נראה ש F היא בוב:
א. לכל <math>F'\in \mathcal{C}</math> היא בוב ולכן <math> X\in F'</math> ולכן נמצא גם בחיתוך.
ב. נניח <math>B,C\in F</math> אזי לכל <math>F'\in \mathcal{C}</math> מתקיים <math>B,C\in F'</math> ולכן <math>B\cap C\in F'</math>
ולכן <math>B\cap C\in \cap_{F'\in \mathcal{C}}F' = F</math>
ג. נניח <math>B \in F \land B\subset C </math> אזי לכל <math>F'\in \mathcal{C}</math> מתקיים <math>C \in F'</math> ולכן <math> C\in F'</math>
ולכן <math> C\in \cap_{F'\in \mathcal{C}}F' = F</math>
ט: F היא בוב '''מינימאלית''' שמכילה את A
ה: נב"ש <math>\hat{F}</math> מוכלת ממש ב F והיא בוב שמכילה את A. אזי אם נצרף את <math>\hat{F}</math> ל C נקבל שרשרת שמכילה ממש את C בסתירה למקסימאליות של C
(שהרי לכל <math>F'\in \mathcal{C}</math> מתקיים <math>F'\supseteq F \supseteq \hat{F}</math>)
