שינויים

====הגדרת שרשרת בקס"ח===='''הגדרה.''' קבוצה A אשר מוגדר עליה יחס סדר חלקי R נקראת קבוצה '''סדורה חלקית'''. תת קבוצה של קבוצה סדורה חלקית <math>C\subseteq A</math> נקראת '''שרשרת''' אם R מהווה יחס סדר מלא /משווה על C. כלומר לכל <math>c_1,c_2\in C</math> מתקיים כי <math>c_1Rc_2</math> או <math>c_2Rc_1</math>. שימו לב כי עבור <math>C=\{\}</math> (הקבוצה הריקה) היא תמיד שרשרת. גם לכל <math>a\in A</math> מתקיים כי עבור <math>C=\{a\}</math> היא תמיד שרשרת.

'''הלמה של צורן.''' תהי דוגמה פרטית וחשובה: עבור A שהיא קבוצה סדורה חלקית '''לא ריקה''' כך שלכל של קבוצות ו R הוא יחס ההכלה, שרשרת המוכלת בA קיים חסם מלעיל מA. אזי קיים בA איבר מקסימלי (איבר שאין איבר שונה ממנו הגדול ממנו)C היא קבוצה של חלק מהקבוצות ב A המקיימות כי כל שתי קבוצות ב C או שהראשונה מוכלת בשניה או שהשניה מוכלת בראשונה.

הלמה תחת אקסיומות ZF (רשימת של צורן שקולה ל'''אקסיומת אקסיומות "סטנדרטיות", לא משנה אם שמעתם עליהם או לא), הדברים הבאים שקולים לאקסיומת הבחירה.''' תהי <math>\{A_i\}_i{\in I}</math> משפחה של קבוצות. אזי קיימת פונקציה <math>f:\{A_i\}_{i\in I}\rightarrow\bigcup_{i\in I}A_i </math> המקיימת <math>\forall i\in I:f(A_i)\in A_i</math>. במילים פשוטות: ניתן לבנות פונקציה הבוחרת נציג מכל קבוצה.

'''  ===דוגמה===תהי <math>f:A\rightarrow B</math> פונקציה. הוכח שקיים צמצום חח"ע של f בעל תמונה זהה ל-f. ==== הוכחה (========= באמצעות אקסיומת הבחירה).''' =====נציג את A כאיחוד אוסף המקורות של כל התמונות של הפונקציה <math>A=\bigcup_{b\in im(f)}f^{-1}\Big[\{b\}\Big]</math>. לפי אקסיומת הבחירה ניתן לבנות פונקציה

ט: תהא <math>\{A'''הוכחה (באמצעות הלמה _i\}_{i\in I}</math> שרשרת כלשהיא של צורן).'''. נביט באוסף תתי הקבוצות של A כך קבוצת שהצמצום של f עליהן עליהם חח"ע אזי הצמצום של f על <math>\hat{A}:=\bigcup_{i\in I}A'_i</math> ג"כ חח"ע.

טה: תהא יהיו <math>x\{B_inot=y \}_in \hat{A}</math> אזי קיים <math>j,i\in I}</math> שרשרת כלשהיא של קבוצת שהצמצום של f עליהם חח"ע אזי הצמצום של f על כך ש <math>B:=x \bigcup_{iin A'_i, y \in I}B_iA'_j</math> ג"כ חח"ע. כיוון שמדובר בשרשרת (היחס מצומצם אליה הוא יחס מלא) אזי

ה: יהיו או ש <math>xA'_i \not=y subseteq A'_j</math> או <math>A'_j \in Bsubseteq A'_i</math> אזי קיים נניח בה"כ <math>iA'_j \in Isubseteq A'_i</math> כך ש אזי <math>x\not=y \in B_iA'_i </math>כיוון שהצמצום של f על <math>B_iA'_i</math> היא חח"ע נקבל כי <math>f(x)\not=f(y)</math>

לפי הלמה של צורן קיים <math>B\hat{A}\subseteq A </math> מקסמאלית כך ש f מצומצמת עליה חח"ע.

ט: <math>im(f|_B_{\hat{A}})=im(f)</math>

ה: אחרת קיים <math>y\in im(f)/ im(f|_B_{\hat{A}})</math> נבחר מקור <math>x\in A</math> ל <math>y</math>ואז <math>B\hat{A}\cup \{x\}</math> קבוצה שמכילה ממש את <math>B\hat{A}</math> והצמצום של f עליה חח"ע. סתירה.

'''תרגיל''' =====באמצעות עקרון המקסימום של האוסדורף=====תהא נגדיר <math>X\mathcal{O}= \{A'\subseteq A\mid f|_{A'} \text{ is 1-1 function }\}</math>. להיות קבוצה כל תתי הקבוצות של A שהצמצום של f עליהם היא חח"ע. נסתכל על הקסח <math>F\subseteq P(X)mathcal{O}</math> תקרא בוב אם:אעם יחס ההכלה. ונסתכל על השרשרת <math>X\in F{\emptyset\}</math> ב(שימו לב שהצמצום לפונקציה הריקה היא הפונקציה (הקבוצה) הריקה והיא חח"ע). לפי עקרון המקסימום של האוסדורף קיימת שרשרת מקסמאלית C המכילה את <math>B,C\in F {\Rightarrow Bemptyset\cap C \in F}</math>ג. נגדיר <math>B in \hat{A } = \land Bcup_{A'\subset in C \Rightarrow C\in F}f</math>.

הוכח שלכל קבוצה ט: צמצום f על <math>A\subseteq P(X)</math> קיים <math>F</math> בוב מינמאלי שמכיל אותה (כלומר אם <math>hat{A\subseteq F'</math> בוב אזי <math>F\subseteq F'}</math>)היא חח"ע

הוכחהה:נגדיר נניח <math>x_1\neq x_2\in \hat{F|A\subseteq F \land F is bob\}</math> ונגדיר יחס אזי קיימות <math>RA'_1,A'_2\in C</math> של "הכלה הפוכה" (כך ש <math>ARBx_i\iff B\subseteq in A'_i</math> ) אזי לכל . מכיוון ש C שרשרת נקבל ש <math>A'_1\{F_i\}_{i\in I}subseteq A'_2</math> של בובים יש איבר מקסמאלי ביחס ל או להיפך. בה"כ <math>RA'_1\subseteq A'_2</math> שהוא ולכן <math>F:=\bigcup_{ix_1,x_2\in I}F_iA'_2</math>. נראה ש ומכיוון שהצמצום של f על <math> A'_2</math> היא חח"ע, נקבל כי <math>Fx_1,x_2</math> בובממופים לתמונת שונות כנדרש.

א. ט: התמונה של הצמצום של f על <math>\forall i: X\in F_ihat{A}</math> ולכן נמצא גם בחיתוך.ב. היא <math>BIm(f)</math>,C\in F \Rightarrow \forall i B,C\in F_i \Rightarrow \forall i B\cap C \in F_i \Rightarrow \ B\cap C כלומר <math>Im(f|_{\in Fhat{A}})=Im(f)</math> ג. באופן דומה.

ה: נב"ש שקיים <math>b\in Im(f)</math> שאין לו מקור ב <math>\hat{A}</math> אזי, לפי הלמה הגדרת התמונה של צורן f, קיים איבר מקס' ביחס ל <math>Ra\in A</math> שזה איבר מיני' ביחס להכלה רגילה(כך ש <math>a\notin \hat{A}</math>) המקיים כי <math>f(a)=b</math>. נקבל כי <math>\hat{A}\cup \{a\}</math> מכילה ממש את <math>\hat{A}</math> והצמצום עליה חח"ע (השתכנעו!) ולכן אם נוסיף את <math>\hat{A}\cup \{a\}</math> לשרשרת C נקבל שרשרשת שמכילה ממש את C בסתירה למקסמאליות של C.

'''תרגיל ממבחן תשס"ט מועד א' (ד"ר שי סרוסי וד"ר אלי בגנו).''' קבוצה נקראת "מגניבה" אם ההפרש בין כל שני איברים שונים בה אינו רציונאלי1. הוכח כי קיימת קבוצה מגניבה C כך שלכל <math>C\subset B</math> מתקיים כי B אינה מגניבה. כמו כן, הוכח שמתקיים שלכל איבר שאינו ב-C יש איבר מ-C אשר ההפרש בינהם רציונאלי.

'''2. כמו כן, הוכח שמתקיים שלכל איבר שאינו ב-C יש איבר מ-C אשר ההפרש בינהם רציונאלי. ====הוכחה====הוכחת 1. שקולה ללהוכיח כי קיימת קבוצה מגניבה C מקסימאלית ביחס להכלה.''' נוכיח: ===== לפי הלמה של צורן =====נביט באוסף הקבוצות המגניבות וביחס ההכלה(האוסף לא ריק כי כל נקודון הוא קבוצה מגניבה). לכל שרשרת של קבוצות מגניבות מתקיים כי האיחוד הכללי שלהן הינו קבוצה מגניבה. אמנם, אם x,y באיחוד הכללי אזי קיימות קבוצות בשרשרת S,T כך ש <math>x\in S \and y\in T</math>. מכיוון שזו שרשרת, ניתן ללא הגבלת הכלליות לומר כי <math>S\subseteq T</math> ולכן <math>x,y\in T</math> ולכן ההפרש בינהן אינו רציונאלי כפי שרצינו.

נניח שקיים איבר שאין לו הפרש רציונאלי עם אף איבר בC. אזי אם נוסיף אותו לC נקבל קבוצה מגניבה המכילה ממש את ט: C בסתירה.מגניבה

לכן יש קבוצה בת2. נב"ל מקסימלית, קל להוכיח שהיא פורשת ולכן מהווה בסיסש שקיים איבר שאין לו הפרש רציונאלי עם אף איבר בC. אזי אם נוסיף אותו לC נקבל קבוצה מגניבה המכילה ממש את C בסתירה.

ט: <math>B:=\bigcup_{i\in I}B_i</math> הינו חסם מלעיל של השרשרת (כלומר צ"ל ש <math>B</math> בת"ל ה: יהיה <math>\alpha_1 v_1 +\cdots +\alpha_n v_n =0</math> צ"ל של וקטורים מ B שמתאפס אזי כל וקטור שייך לאיזה שהוא <math>B_j</math>. כיוון שמדובר בשרשרת אזי כל הוקטורים נמצאים באותה קבוצה. כלומר <math>\exists k\in I \forall i : v_i \in B_k</math> כיוון ש <math>B_k</math> קבוצה בת"ל נקבל שכל המקדמים שווים לאפס. לכן יש קבוצה <math>B</math> בת"ל מקסימלית ט: <math>B</math> פורשת (ולכן מהווה בסיס). ה: אחרת קיים <math>v\in V\backslash span(B)</math> אבל אז <math>B\cup \{v\} </math> מכילה ממש את B וגם בת"ל. סתירה למקס'''תרגילשל B. ===== לפי עקרון המקסימום של האוסדורף =====נגדיר <math>\mathcal{O}</math> אוסף הקבוצות הבלתי תלויות שמוכלות במרחב. כלומר <math>\{B\subseteq V| B \; is \; linearly \; independent \}</math>. בקס"ח <math>\mathcal{O}</math> סדורה ע"י הכלה מתקיים כי <math>\{\emptyset\}</math> היא שרשרת (קבוצה ריקה היא בת"ל) ולכן היא מוכל בשרשרת מקסימאלית C. נגדיר <math>B=\cup_{B'\in C}B'' </math> ט: <math>B</math> בת"ל ה: יהיה <math>\alpha_1 v_1 +\cdots +\alpha_n v_n =0</math> צ"ל של וקטורים מ B שמתאפס אזי כל וקטור שייך לאיזה שהוא <math>B_j\in C</math>. כיוון ש C שרשרת אזי כל הוקטורים נמצאים באותה קבוצה. כלומר <math>\exists k\in I \forall i : v_i \in B_k</math> כיוון ש <math>B_k</math> קבוצה בת"ל נקבל שכל המקדמים שווים לאפס. ט: <math>B</math> פורשת (ולכן מהווה בסיס). ה: אחרת קיים <math>v\in V\backslash span(B)</math> אבל אז <math>B\cup \{v\} </math> מכילה ממש את B וגם בת"ל. ולכן אם נוסיף קבוצה זאת ל C נקבל שרשרת שמכילה ממש את C בסתירה למקסימאליות של C. ===תרגיל===תהיינה <math>a<b</math> עוצמות אינסופיות, ותהי קבוצה B כך ש <math>|B|=b</math>

א. מההגדרה של השוואת עוצמות, קיימת פונקציה חח"ע מקבוצה בעוצמת a אל תוך B. התמונה של פונקציה זו הינה תת קבוצה A בתוך B מעוצמה aסעיף ב. נוכיח במספר דרכים:

תהא <math>\{B_i\}_{i\in I}</math> שרשרת של קבוצות כך שכל אחת <math>B_i\in P(P(A)) </math> אוסף של תתי קבוצות זרות של B מעוצמה a. ט: <math>X:=\bigcup_{i\in I}B_i</math> הינו חסם מלעיל של השרשרת. ה: לכל 2 תתי קבוצות של B ששיכות ל X קיים <math>i\in I</math> כך ששתי תתי הקבוצות שיכות ל <math>B_i</math> ולכן זרות.בנוסף כל תת קבוצה של B ששיכת ל X שייכת ל <math>B_i</math> כלשהוא ולכן מעוצמה a. לפי הלמה של צורן קיים אוסף מקס' S אם <math>\bigcup S=B</math> אז סיימנו  אחרת <math>D:=B/\bigcup S</math> לא ריקה. אם העוצמה של D גדולה שווה מ a אזי יש לה תת קבוצה מעוצמה a שנוכל לצרף ל S וזה יהיה סתירה למקס' של S. אם העוצמה שלה קטנה מ a אז נוכל לצרף אותה לאחת מהקבוצות ב<math>S</math> ואז נקבל אוסף של קבוצות מעוצמה a שאיחודם שווה B. נביט באוסף  ===== לפי עקרון המקסימום של האוסדורף =====נגדיר <math>\mathcal{O}</math> קבוצת כל האוספים של תתי קבוצות זרות של B שכל אחת מהן מעוצמה a. קל להראות שהאיחוד הכללי על כל בקס"ח <math>\mathcal{O}</math> עם הכלה מתקיים כי <math>\{\{A\}\}</math> היא שרשרת באוסף זה שייך לאוסף זה גם כןכאשר A היא תת קבוצה של B מעוצמה a שקיימת לפי סעיף א. לכן כעת לפי הלמה של צורן יש אוסף מקסימלי עקרון המקסימום, קיימת שרשרת C מקסימאלית. נגדיר <math>T=\cup_{T'\in C}T'</math>  ט: <math>T\in \mathcal{O}</math>  ה: יהיו <math>A_1,A_2\in T</math> אזי קיימות <math>T'_1,T'_2</math> כך ש <math>A_i\in T'_i</math> ומכיוון ש C שרשרת <math>T'_1\subseteq T'_2</math> או להיפך. נניח בה"כ כי <math>T'_1\subseteq T'_2</math> ולכן <math>A_1,A_2\in T'_2</math> ומכיוון ש <math>T'_2\in \mathcal{C}</math> נקבל כי <math>A_1,A_2</math> זרות ומעוצמה a כנדרש כעת נגדיר <math>B'=\cup_{A'\in T}A'</math> ונגדיר <math>\hat{B}=B\setminus B'</math> .  אם <math>a<|\hat{B}|</math> אז לפי סעיף א' קיימת לה תת קבוצה <math>\hat{A}</math> מעוצמה a. לפי הגדרה <math>\hat{B}</math> מתקיים כי <math>\hat{A}</math> זרה לכל קבוצה ב T ולכן <math>T\cup \{\hat{A}\}\in \mathcal{O}</math> ואם נוסיף אותה ל C נקבל שרשרת שמכילה ממש את C בסתירה למקסימאליות של C. לכן <math>|\hat{B}|\leq a</math> ונבחר קבוצה אחת A ששייכת T (קיימת לפי סעיף א) ונחליף אותה ב <math>A\cup\hat{B}</math>. מכיוון ש a עוצמה אינסופית נקבל כי <math>A\cup\hat{B}</math> מעוצמה a גם כן (בצירוף <math>|\hat{B}|\leq a</math>) וקיבלנו כעת קבוצות זרות שכל אחת מעוצמה aשהאיחוד של כולם שווה ל B כנדרש ===תרגיל=== תהא <math>X</math>. קבוצה <math>F\subseteq P(X)</math> תקרא בוב אם: א.<math>X\in F</math>

1ג. האיחוד הכללי על האוסף הנתון הוא כל <math>B \in F \land B\subset C \Rightarrow C\in F</math> (סיימנוסגורה כלפי מעלה)

2. ההפרש בין B לבין האיחוד הכללי הוא תהא קבוצה מעוצמה קטנה ממש מ-a<math>A\subseteq P(X)</math> שכל חיתוך סופי של קבוצות בה שונה מקבוצה ריקה. נוסיף הוכיחו: קיים <math>F\neq P(X)</math> בוב מקסימאלי שמכיל אותה לאחת הקבוצות וקיבלנו את המשל.