שינויים

====הגדרת שרשרת בקס"ח===='''הגדרה.''' קבוצה A אשר מוגדר עליה יחס סדר חלקי R נקראת קבוצה '''סדורה חלקית'''. תת קבוצה של קבוצה סדורה חלקית <math>C\subseteq A</math> נקראת '''שרשרת''' אם R מהווה יחס סדר מלא /משווה על C. כלומר לכל <math>c_1,c_2\in C</math> מתקיים כי <math>c_1Rc_2</math> או <math>c_2Rc_1</math>. שימו לב כי עבור <math>C=\{\}</math> (הקבוצה הריקה) היא תמיד שרשרת. גם לכל <math>a\in A</math> מתקיים כי עבור <math>C=\{a\}</math> היא תמיד שרשרת.

'''הלמה של צורן.''' תהי דוגמה פרטית וחשובה: עבור A שהיא קבוצה סדורה חלקית '''לא ריקה''' כך שלכל של קבוצות ו R הוא יחס ההכלה, שרשרת המוכלת בA קיים חסם מלעיל מA. אזי קיים בA איבר מקסימלי (איבר שאין איבר שונה ממנו הגדול ממנו)C היא קבוצה של חלק מהקבוצות ב A המקיימות כי כל שתי קבוצות ב C או שהראשונה מוכלת בשניה או שהשניה מוכלת בראשונה.

הלמה תחת אקסיומות ZF (רשימת של צורן שקולה ל'''אקסיומת הבחירה.''' תהי <math>\{A_i\}_i{\in I}</math> משפחה של קבוצות אקסיומות "סטנדרטיות", לא משנה אם שמעתם עליהם או לא ריקות. אזי קיימת פונקציה <math>f:\{A_i\}_{i\in I}\rightarrow\bigcup_{i\in I}A_i </math> המקיימת <math>\forall i\in I:f(A_i)\in A_i</math>. במילים פשוטות, הדברים הבאים שקולים לאקסיומת הבחירה: ניתן לבנות פונקציה הבוחרת נציג מכל קבוצה.

'''  ===דוגמה===תהי <math>f:A\rightarrow B</math> פונקציה. הוכח שקיים צמצום חח"ע של f בעל תמונה זהה ל-f. ==== הוכחה (========= באמצעות אקסיומת הבחירה).''' =====נציג את A כאיחוד אוסף המקורות של כל התמונות של הפונקציה <math>A=\bigcup_{b\in im(f)}f^{-1}\Big[\{b\}\Big]</math>. לפי אקסיומת הבחירה ניתן לבנות פונקציה

ט: תהא <math>\{A'''הוכחה (באמצעות הלמה _i\}_{i\in I}</math> שרשרת כלשהיא של צורן).'''. נביט באוסף תתי הקבוצות של A כך קבוצת שהצמצום של f עליהן עליהם חח"ע אזי הצמצום של f על <math>\hat{A}:=\bigcup_{i\in I}A'_i</math> ג"כ חח"ע. (האוסף לא ריק כי תמיד אפשר להצטמצם לקבוצה הריקה)

טה: תהא יהיו <math>x\{B_inot=y \}_in \hat{A}</math> אזי קיים <math>j,i\in I}</math> שרשרת כלשהיא של קבוצת שהצמצום של f עליהם חח"ע אזי הצמצום של f על כך ש <math>B:=x \bigcup_{iin A'_i, y \in I}B_iA'_j</math> ג"כ חח"ע. כיוון שמדובר בשרשרת (היחס מצומצם אליה הוא יחס מלא) אזי

ה: יהיו או ש <math>xA'_i \not=y subseteq A'_j</math> או <math>A'_j \in Bsubseteq A'_i</math> אזי קיים נניח בה"כ <math>j,iA'_j \in Isubseteq A'_i</math> כך ש אזי <math>x \in B_i, not= y \in B_jA'_i </math>. כיוון שמדובר בשרשרת שהצמצום של f על <math>A'_i</math> היא חח"ע נקבל כי <math>f(היחס מצומצם אליה הוא יחס מלאx) אזי\not=f(y)</math>

או ש לפי הלמה של צורן קיים <math>B_i \subseteq B_j</math> או <math>B_j hat{A}\subseteq B_i</math> נניח בה"כ <math>B_j \subseteq B_iA </math> מקסמאלית כך ש אזי <math>x\not= y \in B_i </math>כיוון שהצמצום של f על <math>B_i</math> היא מצומצמת עליה חח"ע נקבל כי <math>f(x)\not=f(y)</math>.

לפי הלמה של צורן קיים ט: <math>Bim(f|_{\subseteq hat{A }})=im(f)</math> מקסמאלית כך ש f מצומצמת עליה חח"ע.

טה: אחרת קיים <math>y\in im(f|_B)=/ im(f|_{\hat{A}})</math>נבחר מקור <math>x\in A</math> ל <math>y</math>ואז <math>\hat{A}\cup \{x\}</math> קבוצה שמכילה ממש את <math>\hat{A}</math> והצמצום של f עליה חח"ע. סתירה.

ה: אחרת קיים =====באמצעות עקרון המקסימום של האוסדורף=====נגדיר <math>y\in im(f)/ im(mathcal{O}= \{A'\subseteq A\mid f|_B)_{A'} \text{ is 1-1 function }\}</math> נבחר מקור להיות קבוצה כל תתי הקבוצות של A שהצמצום של f עליהם היא חח"ע. נסתכל על הקסח <math>x\in Amathcal{O}</math> ל עם יחס ההכלה. ונסתכל על השרשרת <math>y\{\emptyset\}</math>(שימו לב שהצמצום לפונקציה הריקה היא הפונקציה (הקבוצה) הריקה והיא חח"ע). ואז לפי עקרון המקסימום של האוסדורף קיימת שרשרת מקסמאלית C המכילה את <math>B\cup \{x\emptyset\}</math> קבוצה שמכילה ממש את . נגדיר <math>B\hat{A} = \cup_{A'\in C}f</math> והצמצום של f עליה חח"ע. סתירה.

'''תרגיל ממבחן תשס"ט מועד א' : התמונה של הצמצום של f על <math>\hat{A}</math> היא <math>Im(ד"ר שי סרוסי וד"ר אלי בגנוf).''' קבוצה נקראת "מגניבה" אם ההפרש בין כל שני איברים שונים בה אינו רציונאלי. הוכח כי קיימת קבוצה מגניבה C כך שלכל </math>C, כלומר <math>Im(f|_{\subset Bhat{A}})=Im(f)</math> מתקיים כי B אינה מגניבה. כמו כן, הוכח שמתקיים שלכל איבר שאינו ב-C יש איבר מ-C אשר ההפרש בינהם רציונאלי.

ה: נב"ש שקיים <math>b\in Im(f)</math> שאין לו מקור ב <math>\hat{A}</math> אזי, לפי הגדרת התמונה של f, קיים <math>a\in A</math> (כך ש <math>a\notin \hat{A}</math>) המקיים כי <math>f(a)=b</math>. נקבל כי <math>\hat{A}\cup \{a\}</math> מכילה ממש את <math>\hat{A}</math> והצמצום עליה חח"ע (השתכנעו!) ולכן אם נוסיף את <math>\hat{A}\cup \{a\}</math> לשרשרת C נקבל שרשרשת שמכילה ממש את C בסתירה למקסמאליות של C. ===תרגיל ממבחן תשס"ט מועד א'''(ד"ר שי סרוסי וד"ר אלי בגנו)===קבוצה נקראת "מגניבה" אם ההפרש בין כל שני איברים שונים בה אינו רציונאלי. 1. הוכח כי קיימת קבוצה מגניבה C כך שלכל <math>C\subset B</math> מתקיים כי B אינה מגניבה.  2. כמו כן, הוכח שמתקיים שלכל איבר שאינו ב-C יש איבר מ-C אשר ההפרש בינהם רציונאלי. ====הוכחה====הוכחת 1.''' שקולה ללהוכיח כי קיימת קבוצה מגניבה C מקסימאלית ביחס להכלה. נוכיח: ===== לפי הלמה של צורן =====נביט באוסף הקבוצות המגניבות וביחס ההכלה (האוסף לא ריק כי כל נקודון הוא קבוצה מגניבה). לכל שרשרת של קבוצות מגניבות מתקיים כי האיחוד הכללי שלהן הינו קבוצה מגניבה. אמנם, אם x,y באיחוד הכללי אזי קיימות קבוצות בשרשרת S,T כך ש <math>x\in S \and y\in T</math>. מכיוון שזו שרשרת, ניתן ללא הגבלת הכלליות לומר כי <math>S\subseteq T</math> ולכן <math>x,y\in T</math> ולכן ההפרש בינהן אינו רציונאלי כפי שרצינו.

'''===תרגיל.''' ===הוכח שלכל מרחב וקטורי קיים בסיס(גם אם המרחב אינו מימד סופי)

'''====הוכחה.''' ====יהיה<math> V </math> מרחב וקטורי. ונרצה להוכיח שקיים בסיס למרחב===== לפי הלמה של צורן =====נביט באוסף הקבוצות הבלתי תלויות שלו <math>\{B\subseteq V| B \; is \; linearly \; independent \}</math>. (האוסף לא ריק כי וקטור בודד שונה מאפס מהווה קבוצה ריקה היא קבוצה בת"ל)

'''תרגיל.''' תהיינה ה: יהיה <math>a\alpha_1 v_1 +\cdots +\alpha_n v_n =0<b/math> צ"ל של וקטורים מ B שמתאפס אזי כל וקטור שייך לאיזה שהוא <math>B_j\in C</math> עוצמות אינסופיות, ותהי . כיוון ש C שרשרת אזי כל הוקטורים נמצאים באותה קבוצה A כך . כלומר <math>\exists k\in I \forall i : v_i \in B_k</math> כיוון ש <math>|A|=bB_k</math>קבוצה בת"ל נקבל שכל המקדמים שווים לאפס.

אט: <math>B</math> פורשת (ולכן מהווה בסיס). הוכח כי קיימת ל-'A תת קבוצה A מעוצמה a

ב. הוכח כי ה: אחרת קיים <math>v\in V\backslash span(B היא איחוד זר )</math> אבל אז <math>B\cup \{v\} </math> מכילה ממש את B וגם בת"ל. ולכן אם נוסיף קבוצה זאת ל C נקבל שרשרת שמכילה ממש את C בסתירה למקסימאליות של קבוצות אשר כל אחת מהן מעוצמה aC.

תהא <math>\{B_i\}_{i\in I}</math> שרשרת של קבוצות כך שכל אחת <math>B_i\in P(A) </math> אוסף של תתי קבוצות זרות של A מעוצמה aסעיף ב.נוכיח במספר דרכים:

ט: <math>B:=\bigcup_{i\in I}B_i</math> הינו חסם מלעיל ==== לפי הלמה של השרשרתצורן =====נביט באוסף כל האוספים של תתי קבוצות זרות של B שכל אחת מהן מעוצמה a. (האוסף לא ריק לפי סעיף קודם)

ה: לכל 2 תתי קבוצות של A ששיכות ל B קיים תהא <math>\{B_i\}_{i\in I}</math> שרשרת של קבוצות כך ששתי תתי הקבוצות שיכות ל שכל אחת <math>B_i\in P(P(A)) </math> ולכן אוסף של תתי קבוצות זרות.בנוסף כל תת קבוצה של A ששיכת ל B שייכת ל <math>Bֹ_i</math> כלשהוא ולכן מעוצמה a.

לפי הלמה ט: <math>X:=\bigcup_{i\in I}B_i</math> הינו חסם מלעיל של צורן קיים איבר מקס' Bהשרשרת.

אם ה: לכל 2 תתי קבוצות של B ששיכות ל X קיים <math>\bigcup_{A'i\in I</math> כך ששתי תתי הקבוצות שיכות ל <math>B_i</math> ולכן זרות.בנוסף כל תת קבוצה של B}A'=Aששיכת ל X שייכת ל <math>B_i</math> אז סיימנו כלשהוא ולכן מעוצמה a.

אחרת לפי הלמה של צורן קיים <math>A'':=A/\bigcup_{A'\in B}A'</math> לא ריקה. אם העוצמה של גדולה שווה מ a אזי יש לה תת קבוצה מעוצמה a שנוכל לצרף ל B וזה יהיה סתירה למקס' של B. אם העוצמה שלה קטנה מ a אז נוכל לצרף אותה לאחת מ <math>A'\in B</math> ואז נקבל אוסף של קבוצות מעוצמה a שאיחודם כל A (כי <math>|A'\cup A'מקס'|=a</math>)S

'''תרגיל''' תהא אחרת <math>XD:=B/\bigcup S</math>לא ריקה. אם העוצמה של D גדולה שווה מ a אזי יש לה תת קבוצה מעוצמה a שנוכל לצרף ל S וזה יהיה סתירה למקס' של S. אם העוצמה שלה קטנה מ a אז נוכל לצרף אותה לאחת מהקבוצות ב<math>F\subseteq P(X)S</math> תקרא בוב אם:ואז נקבל אוסף של קבוצות מעוצמה a שאיחודם שווה B.

===== לפי עקרון המקסימום של האוסדורף =====נגדיר <math>\mathcal{O}</math> קבוצת כל האוספים של תתי קבוצות זרות של B שכל אחת מהן מעוצמה a. בקס"ח <math>\mathcal{O}</math> עם הכלה מתקיים כי <math>\{\{A\}\}</math> היא שרשרת כאשר A היא תת קבוצה של B מעוצמה a שקיימת לפי סעיף א. כעת לפי עקרון המקסימום, קיימת שרשרת C מקסימאלית. נגדיר <math>XT=\cup_{T'\in FC}T'</math>

ב. ט: <math>B,CT\in F \Rightarrow B\cap C \in Fmathcal{O}</math>

ג. ה: יהיו <math>B A_1,A_2\in F T</math> אזי קיימות <math>T'_1,T'_2</math> כך ש <math>A_i\land B\subset in T'_i</math> ומכיוון ש C שרשרת <math>T'_1\Rightarrow Csubseteq T'_2</math> או להיפך. נניח בה"כ כי <math>T'_1\subseteq T'_2</math> ולכן <math>A_1,A_2\in FT'_2</math> ומכיוון ש <math>T'_2\in \mathcal{C}</math> נקבל כי <math>A_1,A_2</math>זרות ומעוצמה a כנדרש

הוכח שלכל קבוצה כעת נגדיר <math>B'=\cup_{A'\subseteq P(X)</math> קיים <math>F</math> בוב מינמאלי שמכיל אותה (כלומר אם <math>in T}A\subseteq F'</math> בוב אזי ונגדיר <math>F\subseteq Fhat{B}=B\setminus B'</math>).

הוכחה:נגדיר אם <math>a<|\hat{FB}|A\subseteq F \land F \; is \; bob\}</math> ונגדיר יחס אז לפי סעיף א' קיימת לה תת קבוצה <math>R\hat{A}</math> של "הכלה הפוכה" (מעוצמה a. לפי הגדרה <math>ARB\iff hat{B\subseteq A}</math> ) (האוסף לא ריק מתקיים כי <math>P(X)\hat{A}</math> היא בוב שמכיל את A )אזי זרה לכל שרשרת קבוצה ב T ולכן <math>T\cup \{F_i\hat{A}\}_{i\in I}</math> של בובים יש איבר מקסמאלי ביחס ל <math>R</math> שהוא <math>F:=\bigcap_mathcal{i\in IO}F_i</math>. נראה ש <math>F</math> בוב ואם נוסיף אותה ל C נקבל שרשרת שמכילה ממש את C בסתירה למקסימאליות של C.

לכן <math>|\hat{B}|\leq a</math> ונבחר קבוצה אחת A ששייכת T (קיימת לפי סעיף א) ונחליף אותה ב <math>A\cup\hat{B}</math>. מכיוון ש a עוצמה אינסופית נקבל כי <math>A\forall icup\hat{B}</math> מעוצמה a גם כן (בצירוף <math>|\hat{B}|\leq a</math>) וקיבלנו כעת קבוצות זרות שכל אחת מעוצמה a שהאיחוד של כולם שווה ל B כנדרש ===תרגיל=== תהא <math>X</math>. קבוצה <math>F\subseteq P(X)</math> תקרא בוב אם:  א. <math>X\in F_iF</math> ולכן נמצא גם בחיתוך.

ב. <math>B,C\in F \Rightarrow \forall i B,C\in F_i \Rightarrow \forall i B\cap C \in F_i \Rightarrow \ B\cap C \in F</math> (סגורה לחיתוכים סופיים)

ג. באופן דומה.<math>B \in F \land B\subset C \Rightarrow C\in F</math> (סגורה כלפי מעלה)

לפי הלמה תהא קבוצה <math>A\subseteq P(X)</math> שכל חיתוך סופי של צורן קבוצות בה שונה מקבוצה ריקה. הוכיחו: קיים איבר מקס' ביחס ל <math>RF\neq P(X)</math> שזה איבר מיני' ביחס להכלה רגילהבוב מקסימאלי שמכיל אותה.