שינויים
/* אקסיומת הבחירה ואקסיומות שקולות */
*'''הלמה של צורן.''': תהי A קבוצה סדורה חלקית '''לא ריקה''' כך שלכל שרשרת המוכלת בA קיים חסם מלעיל מA. אזי קיים בA איבר מקסימלי (איבר שאין איבר שונה ממנו הגדול ממנו).
*'''עקרון המקסימום של האוסדורף''': כל שרשרת מוכלת בשרשרת מקסימלית (שרשרת מקססימאלית מקסימאלית = שרשרת שלא מוכלת ממש באף שרשרת אחרת. לחילופין, כל איבר שנוסיף לשרשרת תגרום לה לא להיות שרשרת)
ה: נניח <math>x_1\neq x_2\in \hat{A}</math> אזי קיימות <math>A'_1,A'_2\in C</math> כך ש <math>x_i\in A'_i</math>. מכיוון ש C שרשרת נקבל ש <math>A'_1\subseteq A'_2</math> או להיפך. בה"כ <math>A'_1\subseteq A'_2</math> ולכן <math>x_1,x_2\in A'_2</math> ומכיוון שהצמצום של f על <math> A'_2</math> היא חח"ע, נקבל כי <math>x_1,x_2</math> ממופים לתמונת שונות כנדרש.
ט: התמוננה התמונה של הצמצום של f על <math>\hat{A}</math> היא B<math>Im(f)</math>, כלומר <math>Im(f|_{\hat{A}})=Im(f)</math> ה: נב"ש שקיים <math>b\in Im(f)</math> שאין לו מקור ב <math>\hat{A}</math> אזי, לפי הגדרת התמונה של f, קיים <math>a\in A</math> (כך ש <math>a\notin \hat{A}</math>) המקיים כי <math>f(a)=b</math>. נקבל כי <math>\hat{A}\cup \{a\}</math> מכילה ממש את <math>\hat{A}</math> והצמצום עליה חח"ע (השתכנעו!) ולכן אם נוסיף את <math>\hat{A}\cup \{a\}</math> לשרשרת C נקבל שרשרשת שמכילה ממש את C בסתירה למקסמאליות של C.
===תרגיל ממבחן תשס"ט מועד א' (ד"ר שי סרוסי וד"ר אלי בגנו)===
קבוצה נקראת "מגניבה" אם ההפרש בין כל שני איברים שונים בה אינו רציונאלי. 1. הוכח כי קיימת קבוצה מגניבה C כך שלכל <math>C\subset B</math> מתקיים כי B אינה מגניבה. 2. כמו כן, הוכח שמתקיים שלכל איבר שאינו ב-C יש איבר מ-C אשר ההפרש בינהם רציונאלי.
====הוכחה====
הוכחת 1. שקולה ללהוכיח כי קיימת קבוצה מגניבה C מקסימאלית ביחס להכלה. נוכיח:
===== לפי הלמה של צורן =====
נביט באוסף הקבוצות המגניבות וביחס ההכלה (האוסף לא ריק כי כל נקודון הוא קבוצה מגניבה). לכל שרשרת של קבוצות מגניבות מתקיים כי האיחוד הכללי שלהן הינו קבוצה מגניבה. אמנם, אם x,y באיחוד הכללי אזי קיימות קבוצות בשרשרת S,T כך ש <math>x\in S \and y\in T</math>. מכיוון שזו שרשרת, ניתן ללא הגבלת הכלליות לומר כי <math>S\subseteq T</math> ולכן <math>x,y\in T</math> ולכן ההפרש בינהן אינו רציונאלי כפי שרצינו.
אם כן, האיחוד הכללי הינו חסם מקסימלי של השרשרת (כי הוא מכיל את כל הקבוצות בשרשרת) מתוך אוסף הקבוצות המגניבות, ולכן לפי הלמה של צורן קיימת קבוצה מגניבה מקסימלית ביחס להכלה. זה אומר שכל קבוצה מגניבה המכילה את C שווה לה.
===== לפי עקרון המקסימום של האוסדורף =====
נגדיר <math>\mathcal{O}</math> אוסף הקבוצות המגניבות, סדורה ע"י הכלה. מתקיים כי <math>\{\emptyset\}</math> שרשרת ולכן היא מוכל בשרשרת מקסימאלית <math>\mathcal{C}</math>.
נגדיר <math>C=\cup_{C'\in \mathcal{C}}</math>
ה: אם x,y ב C אזי קיימות קבוצות בשרשרת <math>S,T\in \mathcal{C}</math> כך ש <math>x\in S \and y\in T</math>. מכיוון שזו שרשרת, ניתן ללא הגבלת הכלליות לומר כי <math>S\subseteq T</math> ולכן <math>x,y\in T</math> ולכן ההפרש בינהן אינו רציונאלי כפי שרצינו.
ט: C מגניבה ''' מקסימאלית''' (ביחס להכלה)
ה: נב"ש כי קיימת <math>\hat{C}</math> קבוצה מגניבה שמכילה ממש את C אזי <math>\mathcal{C}\cup \{\hat{C}\}</math> היא שרשרת שמכילה ממש את <math>\mathcal{C}</math> בסתירה למקסמאליות של <math>\mathcal{C}</math>
2. נב"ש שקיים איבר שאין לו הפרש רציונאלי עם אף איבר בC. אזי אם נוסיף אותו לC נקבל קבוצה מגניבה המכילה ממש את C בסתירה.
===תרגיל===
הוכח שלכל מרחב וקטורי קיים בסיס(גם אם המרחב אינו מימד סופי)
====הוכחה====
יהיה<math> V </math> מרחב וקטורי. ונרצה להוכיח שקיים בסיס למרחב===== לפי הלמה של צורן =====נביט באוסף הקבוצות הבלתי תלויות שלו <math>\{B\subseteq V| B \; is \; linearly \; independent \}</math>. (האוסף לא ריק כי וקטור בודד שונה מאפס מהווה קבוצה ריקה היא קבוצה בת"ל)
תהא <math>\{B_i\}_{i\in I}</math> שרשרת של קבוצות בת"ל.
ה: אחרת קיים <math>v\in V\backslash span(B)</math> אבל אז <math>B\cup \{v\} </math> מכילה ממש את B וגם בת"ל. סתירה למקס' של B.
===== לפי עקרון המקסימום של האוסדורף =====
נגדיר <math>\mathcal{O}</math> אוסף הקבוצות הבלתי תלויות שמוכלות במרחב. כלומר <math>\{B\subseteq V| B \; is \; linearly \; independent \}</math>. בקס"ח <math>\mathcal{O}</math> סדורה ע"י הכלה מתקיים כי <math>\{\emptyset\}</math> היא שרשרת (קבוצה ריקה היא בת"ל) ולכן היא מוכל בשרשרת מקסימאלית C. נגדיר <math>B=\cup_{B'\in C}B'</math>
ט: <math>B</math> בת"ל
ה: יהיה <math>\alpha_1 v_1 +\cdots +\alpha_n v_n =0</math> צ"ל של וקטורים מ B שמתאפס אזי כל וקטור שייך לאיזה שהוא <math>B_j\in C</math>. כיוון ש C שרשרת אזי כל הוקטורים נמצאים באותה קבוצה.
כלומר <math>\exists k\in I \forall i : v_i \in B_k</math> כיוון ש <math>B_k</math> קבוצה בת"ל נקבל שכל המקדמים שווים לאפס.
ט: <math>B</math> פורשת (ולכן מהווה בסיס).
ה: אחרת קיים <math>v\in V\backslash span(B)</math> אבל אז <math>B\cup \{v\} </math> מכילה ממש את B וגם בת"ל. ולכן אם נוסיף קבוצה זאת ל C נקבל שרשרת שמכילה ממש את C בסתירה למקסימאליות של C.
===תרגיל===
סעיף ב. נוכיח במספר דרכים: ===== לפי הלמה של צורן =====נביט באוסף כל האוספים של תתי קבוצות זרות של B שכל אחת מהן מעוצמה a. (האוסף לא ריק לפי סעיף קודם)
תהא <math>\{B_i\}_{i\in I}</math> שרשרת של קבוצות כך שכל אחת <math>B_i\in P(P(A)) </math> אוסף של תתי קבוצות זרות של B מעוצמה a.
אם העוצמה שלה קטנה מ a אז נוכל לצרף אותה לאחת מהקבוצות ב<math>S</math> ואז נקבל אוסף של קבוצות מעוצמה a שאיחודם שווה B.
===== לפי עקרון המקסימום של האוסדורף =====
נגדיר <math>\mathcal{O}</math> קבוצת כל האוספים של תתי קבוצות זרות של B שכל אחת מהן מעוצמה a. בקס"ח <math>\mathcal{O}</math> עם הכלה מתקיים כי <math>\{\{A\}\}</math> היא שרשרת כאשר A היא תת קבוצה של B מעוצמה a שקיימת לפי סעיף א. כעת לפי עקרון המקסימום, קיימת שרשרת C מקסימאלית. נגדיר <math>T=\cup_{T'\in C}T'</math>
====הוכחה=תרגיל===נגדיר תהא <math>\{F|A\subseteq F \land F \; is \; bob\}X</math> ונגדיר יחס . קבוצה <math>R</math> של "הכלה הפוכה" (<math>ARB\iff BF\subseteq A</math> ) (האוסף לא ריק כי <math>P(X)</math> היא תקרא בוב שמכיל את A )אזי לכל שרשרת <math>\{F_i\}_{i\in I}</math> של בובים יש איבר מקסמאלי ביחס ל <math>R</math> שהוא <math>Fאם:=\bigcap_{i\in I}F_i</math>. נראה ש <math>F</math> בוב.
א. <math>\forall i: X\in F_iF</math> ולכן נמצא גם בחיתוך.
ב. <math>B,C\in F \Rightarrow \forall i B,C\in F_i \Rightarrow \forall i B\cap C \in F_i \Rightarrow \ B\cap C \in F</math> (סגורה לחיתוכים סופיים)
ג. באופן דומה.<math>B \in F \land B\subset C \Rightarrow C\in F</math> (סגורה כלפי מעלה)
