שינויים
/* אקסיומת הבחירה ואקסיומות שקולות */
*'''הלמה של צורן.''': תהי A קבוצה סדורה חלקית '''לא ריקה''' כך שלכל שרשרת המוכלת בA קיים חסם מלעיל מA. אזי קיים בA איבר מקסימלי (איבר שאין איבר שונה ממנו הגדול ממנו).
*'''עקרון המקסימום של האוסדורף''': כל שרשרת מוכלת בשרשרת מקסימלית (שרשרת מקססימאלית מקסימאלית = שרשרת שלא מוכלת ממש באף שרשרת אחרת. לחילופין, כל איבר שנוסיף לשרשרת תגרום לה לא להיות שרשרת)
===תרגיל===
הוכח שלכל מרחב וקטורי קיים בסיס(גם אם המרחב אינו מימד סופי)
====הוכחה====
יהיה<math> V </math> מרחב וקטורי. ונרצה להוכיח שקיים בסיס למרחב===== לפי הלמה של צורן =====נביט באוסף הקבוצות הבלתי תלויות שלו <math>\{B\subseteq V| B \; is \; linearly \; independent \}</math>. (האוסף לא ריק כי וקטור בודד שונה מאפס מהווה קבוצה ריקה היא קבוצה בת"ל)
תהא <math>\{B_i\}_{i\in I}</math> שרשרת של קבוצות בת"ל.
ה: אחרת קיים <math>v\in V\backslash span(B)</math> אבל אז <math>B\cup \{v\} </math> מכילה ממש את B וגם בת"ל. סתירה למקס' של B.
===== לפי עקרון המקסימום של האוסדורף =====
נגדיר <math>\mathcal{O}</math> אוסף הקבוצות הבלתי תלויות שמוכלות במרחב. כלומר <math>\{B\subseteq V| B \; is \; linearly \; independent \}</math>. בקס"ח <math>\mathcal{O}</math> סדורה ע"י הכלה מתקיים כי <math>\{\emptyset\}</math> היא שרשרת (קבוצה ריקה היא בת"ל) ולכן היא מוכל בשרשרת מקסימאלית C. נגדיר <math>B=\cup_{B'\in C}B'</math>
ט: <math>B</math> בת"ל
ה: יהיה <math>\alpha_1 v_1 +\cdots +\alpha_n v_n =0</math> צ"ל של וקטורים מ B שמתאפס אזי כל וקטור שייך לאיזה שהוא <math>B_j\in C</math>. כיוון ש C שרשרת אזי כל הוקטורים נמצאים באותה קבוצה.
כלומר <math>\exists k\in I \forall i : v_i \in B_k</math> כיוון ש <math>B_k</math> קבוצה בת"ל נקבל שכל המקדמים שווים לאפס.
ט: <math>B</math> פורשת (ולכן מהווה בסיס).
ה: אחרת קיים <math>v\in V\backslash span(B)</math> אבל אז <math>B\cup \{v\} </math> מכילה ממש את B וגם בת"ל. ולכן אם נוסיף קבוצה זאת ל C נקבל שרשרת שמכילה ממש את C בסתירה למקסימאליות של C.
===תרגיל===
סעיף ב. נוכיח במספר דרכים: ===== לפי הלמה של צורן =====נביט באוסף כל האוספים של תתי קבוצות זרות של B שכל אחת מהן מעוצמה a. (האוסף לא ריק לפי סעיף קודם)
תהא <math>\{B_i\}_{i\in I}</math> שרשרת של קבוצות כך שכל אחת <math>B_i\in P(P(A)) </math> אוסף של תתי קבוצות זרות של B מעוצמה a.
אם העוצמה שלה קטנה מ a אז נוכל לצרף אותה לאחת מהקבוצות ב<math>S</math> ואז נקבל אוסף של קבוצות מעוצמה a שאיחודם שווה B.
===== לפי עקרון המקסימום של האוסדורף =====
נגדיר <math>\mathcal{O}</math> קבוצת כל האוספים של תתי קבוצות זרות של B שכל אחת מהן מעוצמה a. בקס"ח <math>\mathcal{O}</math> עם הכלה מתקיים כי <math>\{\{A\}\}</math> היא שרשרת כאשר A היא תת קבוצה של B מעוצמה a שקיימת לפי סעיף א. כעת לפי עקרון המקסימום, קיימת שרשרת C מקסימאלית. נגדיר <math>T=\cup_{T'\in C}T'</math>
====הוכחה=תרגיל===נגדיר תהא <math>\{F|A\subseteq F \land F \; is \; bob\}X</math> ונגדיר יחס . קבוצה <math>R</math> של "הכלה הפוכה" (<math>ARB\iff BF\subseteq A</math> ) (האוסף לא ריק כי <math>P(X)</math> היא תקרא בוב שמכיל את A )אזי לכל שרשרת <math>\{F_i\}_{i\in I}</math> של בובים יש איבר מקסמאלי ביחס ל <math>R</math> שהוא <math>Fאם:=\bigcap_{i\in I}F_i</math>. נראה ש <math>F</math> בוב.
א. <math>\forall i: X\in F_iF</math> ולכן נמצא גם בחיתוך.
ב. <math>B,C\in F \Rightarrow \forall i B,C\in F_i \Rightarrow \forall i B\cap C \in F_i \Rightarrow \ B\cap C \in F</math> (סגורה לחיתוכים סופיים)
ג. באופן דומה.<math>B \in F \land B\subset C \Rightarrow C\in F</math> (סגורה כלפי מעלה)