שינויים

*'''עקרון המקסימום של האוסדורף''': כל שרשרת מוכלת בשרשרת מקסימלית (שרשרת מקססימאלית מקסימאלית = שרשרת שלא מוכלת ממש באף שרשרת אחרת. לחילופין, כל איבר שנוסיף לשרשרת תגרום לה לא להיות שרשרת)

סעיף ב. נוכיח במספר דרכים: ===== לפי הלמה של צורן =====נביט באוסף כל האוספים של תתי קבוצות זרות של B שכל אחת מהן מעוצמה a. (האוסף לא ריק לפי סעיף קודם)

===תרגיל=== תהא ט: <math>X</math>. קבוצה <math>FT\subseteq P(X)in \mathcal{O}</math> תקרא בוב אם:

אה: יהיו <math>A_1,A_2\in T</math> אזי קיימות <math>T'_1,T'_2</math> כך ש <math>A_i\in T'_i</math> ומכיוון ש C שרשרת <math>T'_1\subseteq T'_2</math> או להיפך. נניח בה"כ כי <math>XT'_1\subseteq T'_2</math> ולכן <math>A_1,A_2\in FT'_2</math> ומכיוון ש <math>T'_2\in \mathcal{C}</math> נקבל כי <math>A_1,A_2</math> זרות ומעוצמה a כנדרש

ב. כעת נגדיר <math>B,C'=\cup_{A'\in F T}A'</math> ונגדיר <math>\Rightarrow hat{B}=B\cap C \in Fsetminus B'</math>.

ג. אם <math>a<|\hat{B }|</math> אז לפי סעיף א' קיימת לה תת קבוצה <math>\in F hat{A}</math> מעוצמה a. לפי הגדרה <math>\land hat{B}</math> מתקיים כי <math>\subset C hat{A}</math> זרה לכל קבוצה ב T ולכן <math>T\Rightarrow Ccup \{\hat{A}\}\in F\mathcal{O}</math> ואם נוסיף אותה ל C נקבל שרשרת שמכילה ממש את C בסתירה למקסימאליות של C.

הוכח שלכל קבוצה לכן <math>A|\hat{B}|\subseteq P(X)leq a</math> קיים <math>F</math> בוב מינמאלי שמכיל ונבחר קבוצה אחת A ששייכת T (קיימת לפי סעיף א) ונחליף אותה (כלומר אם ב <math>A\subseteq F'cup\hat{B}</math> בוב וגם . מכיוון ש a עוצמה אינסופית נקבל כי <math>F'A\cup\subseteq Fhat{B}</math> אזי מעוצמה a גם כן (בצירוף <math>F=F'|\hat{B}|\leq a</math>)וקיבלנו כעת קבוצות זרות שכל אחת מעוצמה a שהאיחוד של כולם שווה ל B כנדרש

====הוכחה=תרגיל===נגדיר תהא <math>\{F|A\subseteq F \land F \; is \; bob\}X</math> ונגדיר יחס . קבוצה <math>R</math> של "הכלה הפוכה" (<math>ARB\iff BF\subseteq A</math> ) (האוסף לא ריק כי <math>P(X)</math> היא תקרא בוב שמכיל את A )אזי לכל שרשרת <math>\{F_i\}_{i\in I}</math> של בובים יש איבר מקסמאלי ביחס ל <math>R</math> שהוא <math>Fאם:=\bigcap_{i\in I}F_i</math>. נראה ש <math>F</math> בוב.

א. <math>\forall i: X\in F_iF</math> ולכן נמצא גם בחיתוך.

ב. <math>B,C\in F \Rightarrow \forall i B,C\in F_i \Rightarrow \forall i B\cap C \in F_i \Rightarrow \ B\cap C \in F</math> (סגורה לחיתוכים סופיים)

ג. באופן דומה.<math>B \in F \land B\subset C \Rightarrow C\in F</math> (סגורה כלפי מעלה)

לפי הלמה תהא קבוצה <math>A\subseteq P(X)</math> שכל חיתוך סופי של צורן קבוצות בה שונה מקבוצה ריקה. הוכיחו: קיים איבר מקס' ביחס ל <math>F'\neq P(X)</math> שזה איבר מיני' ביחס להכלה רגילהבוב מקסימאלי שמכיל אותה.