שינויים

*'''עקרון המקסימום של האוסדורף''': כל שרשרת מוכלת בשרשרת מקסימלית (שרשרת מקססימאלית מקסימאלית = שרשרת שלא מוכלת ממש באף שרשרת אחרת. לחילופין, כל איבר שנוסיף לשרשרת תגרום לה לא להיות שרשרת)

===== לפי הלמה של צורן =====<math>A</math>

לכן <math>|\hat{B}|\leq a</math> ונבחר קבוצה אחת A ששייכת T (קיימת לפי סעיף א) ונחליף אותה ב <math>A\cup\{\hat{B}\}</math>. מכיוון ש a עוצמה אינסופית נקבל כי <math>A\cup\{\hat{B}\}</math> מעוצמה a גם כן (בצירוף <math>|\hat{B}|\leq a</math>) וקיבלנו כעת קבוצות זרות שכל אחת מעוצמה a שהאיחוד של כולם שווה ל B כנדרש

ב. <math>B,C\in F \Rightarrow B\cap C \in F</math> ג. <math>B \in F \land B\subset C \Rightarrow C\in F</math> הוכח שלכל קבוצה <math>A\subseteq P(Xסגורה לחיתוכים סופיים)</math> קיים <math>F</math> בוב מינמאלי שמכיל אותה (כלומר אם <math>A\subseteq F'</math> בוב וגם <math>F'\subseteq F</math> אזי <math>F=F'</math>) ====הוכחה====נגדיר <math>\{F|A\subseteq F \land F \; is \; bob\}</math> ונגדיר יחס <math>R</math> של "הכלה הפוכה" (<math>ARB\iff B\subseteq A</math> ) (האוסף לא ריק כי <math>P(X)</math> היא בוב שמכיל את A )אזי לכל שרשרת <math>\{F_i\}_{i\in I}</math> של בובים יש איבר מקסמאלי ביחס ל <math>R</math> שהוא <math>F:=\bigcap_{i\in I}F_i</math>. נראה ש <math>F</math> בוב.  א. <math>\forall i: X\in F_i</math> ולכן נמצא גם בחיתוך. ב. <math>B,C\in F \Rightarrow \forall i B,C\in F_i \Rightarrow \forall i B\cap C \in F_i \Rightarrow \ B\cap C \in F</math>

ג. באופן דומה.<math>B \in F \land B\subset C \Rightarrow C\in F</math> (סגורה כלפי מעלה)

לפי הלמה תהא קבוצה <math>A\subseteq P(X)</math> שכל חיתוך סופי של צורן קבוצות בה שונה מקבוצה ריקה. הוכיחו: קיים איבר מקס' ביחס ל <math>F'\neq P(X)</math> שזה איבר מיני' ביחס להכלה רגילהבוב מקסימאלי שמכיל אותה.