*'''הלמה של צורן.''': תהי A קבוצה סדורה חלקית '''לא ריקה''' כך שלכל שרשרת המוכלת בA קיים חסם מלעיל מA. אזי קיים בA איבר מקסימלי (איבר שאין איבר שונה ממנו הגדול ממנו).
*'''עקרון המקסימום של האוסדורף''': כל שרשרת מוכלת בשרשרת מקסימלית (שרשרת מקססימאלית מקסימאלית = שרשרת שלא מוכלת ממש באף שרשרת אחרת. לחילופין, כל איבר שנוסיף לשרשרת תגרום לה לא להיות שרשרת)
אם <math>a<|\hat{B}|</math> אז לפי סעיף א' קיימת לה תת קבוצה <math>\hat{A}</math> מעוצמה a. לפי הגדרה <math>\hat{B}</math> מתקיים כי <math>\hat{A}</math> זרה לכל קבוצה ב T ולכן <math>T\cup \{\hat{A}\}\in \mathcal{O}</math> ואם נוסיף אותה ל C נקבל שרשרת שמכילה ממש את C בסתירה למקסימאליות של C.
לכן <math>|\hat{B}|\leq a</math> ונבחר קבוצה אחת A ששייכת T (קיימת לפי סעיף א) ונחליף אותה ב <math>A\cup\{\hat{B}\}</math>. מכיוון ש a עוצמה אינסופית נקבל כי <math>A\cup\{\hat{B}\}</math> מעוצמה a גם כן (בצירוף <math>|\hat{B}|\leq a</math>) וקיבלנו כעת קבוצות זרות שכל אחת מעוצמה a שהאיחוד של כולם שווה ל B כנדרש
===תרגיל===
ג. <math>B \in F \land B\subset C \Rightarrow C\in F</math> (סגורה כלפי מעלה)
הוכח שלכל תהא קבוצה <math>A\subseteq P(X)</math> קיים <math>F</math> בוב מינמאלי שמכיל אותה (כלומר אם <math>A\subseteq F'</math> בוב וגם <math>F'\subseteq F</math> אזי <math>F=F'</math>) ====הוכחה========= לפי הלמה שכל חיתוך סופי של צורן =====נגדיר <math>\{F|A\subseteq F \land F \; is \; bob\}</math> ונגדיר יחס <math>R</math> של "הכלה הפוכה" (<math>ARB\iff B\subseteq A</math> ) (האוסף לא ריק כי <math>P(X)</math> היא בוב שמכיל את A )אזי לכל שרשרת <math>\{F_i\}_{i\in I}</math> של בובים יש איבר מקסמאלי ביחס ל <math>R</math> שהוא <math>F:=\bigcap_{i\in I}F_i</math>קבוצות בה שונה מקבוצה ריקה. נראה ש <math>F</math> בוב. א. <math>\forall iהוכיחו: X\in F_i</math> ולכן נמצא גם בחיתוך. ב. <math>B,C\in F \Rightarrow \forall i B,C\in F_i \Rightarrow \forall i B\cap C \in F_i \Rightarrow \ B\cap C \in F</math> ג. באופן דומה. לפי הלמה של צורן קיים איבר מקס' ביחס ל <math>F'</math> שזה איבר מיני' ביחס להכלה רגילה. ===== לפי עקרון המקסימום של האוסדורף =====נגדיר <math>\mathcal{O}=\{F|A\subseteq F \land F \; is \; bob\}</math> כל קבוצות בוב שמכילות של A, מסודרת לפי היחס "הכלה הפוכה" neq P(כלומר במקום <math>\subseteq</math> נעבוד עם <math>\supseteq</math>). מתקיים כי <math>\{X\}</math> היא שרשרת (שימו לב ש X היא בוב ומכילה את Aׂ) ולכן מוכלת בשרשרת מקסימאלית <math>\mathcal{C}</math>. נגדיר <math>F=\cap_{F'\in \mathcal{C}}F'</math>. ט: F היא בוב שמכילה את Aמקסימאלי שמכיל אותה. ה: כיוון שכל <math>F'\in \mathcal{C}</math> מכיל את A אז גם החיתוך של כולם. נראה ש F היא בוב: א. לכל <math>F'\in \mathcal{C}</math> היא בוב ולכן <math> X\in F'</math> ולכן נמצא גם בחיתוך. ב. נניח <math>B,C\in F</math> אזי לכל <math>F'\in \mathcal{C}</math> מתקיים <math>B,C\in F'</math> ולכן <math>B\cap C\in F'</math> ולכן <math>B\cap C\in \cap_{F'\in \mathcal{C}}F' = F</math> ג. נניח <math>B \in F \land B\subset C </math> אזי לכל <math>F'\in \mathcal{C}</math> מתקיים <math>C \in F'</math> ולכן <math> C\in F'</math> ולכן <math> C\in \cap_{F'\in \mathcal{C}}F' = F</math> ט: F היא בוב '''מינימאלית''' שמכילה את A ה: נב"ש <math>\hat{F}</math> מוכלת ממש ב F והיא בוב שמכילה את A. אזי אם נצרף את <math>\hat{F}</math> ל C נקבל שרשרת שמכילה ממש את C בסתירה למקסימאליות של C (שהרי לכל <math>F'\in \mathcal{C}</math> מתקיים <math>F'\supseteq F \supseteq \hat{F}</math>)
