*'''הלמה של צורן.''': תהי A קבוצה סדורה חלקית '''לא ריקה''' כך שלכל שרשרת המוכלת בA קיים חסם מלעיל מA. אזי קיים בA איבר מקסימלי (איבר שאין איבר שונה ממנו הגדול ממנו).
*'''עקרון המקסימום של האוסדורף''': כל שרשרת מוכלת בשרשרת מקסימלית (שרשרת מקססימאלית מקסימאלית = שרשרת שלא מוכלת ממש באף שרשרת אחרת. לחילופין, כל איבר שנוסיף לשרשרת תגרום לה לא להיות שרשרת)
לכן <math>|\hat{B}|\leq a</math> ונבחר קבוצה אחת A ששייכת T (קיימת לפי סעיף א) ונחליף אותה ב <math>A\cup\hat{B}</math>. מכיוון ש a עוצמה אינסופית נקבל כי <math>A\cup\hat{B}</math> מעוצמה a גם כן (בצירוף <math>|\hat{B}|\leq a</math>) וקיבלנו כעת קבוצות זרות שכל אחת מעוצמה a שהאיחוד של כולם שווה ל B כנדרש
===תרגיל===
תהא <math>X</math>. קבוצה <math>F\subseteq P(X)</math> תקרא בוב אם:
א. <math>X\in F</math>
ב. <math>B,C\in F \Rightarrow B\cap C \in F</math> (סגורה לחיתוכים סופיים)
ג. <math>B \in F \land B\subset C \Rightarrow C\in F</math> (סגורה כלפי מעלה)
הוכח שלכל קבוצה <math>A\subseteq P(X)</math> קיים <math>F</math> בוב מינמאלי שמכיל אותה
(כלומר אם <math>A\subseteq F'</math> בוב וגם <math>F'\subseteq F</math> אזי <math>F=F'</math>)
====הוכחה====
===== לפי הלמה של צורן =====
נגדיר <math>\{F|A\subseteq F \land F \; is \; bob\}</math> ונגדיר יחס <math>R</math> של "הכלה הפוכה"
(<math>ARB\iff B\subseteq A</math> ) (האוסף לא ריק כי <math>P(X)</math> היא בוב שמכיל את A )
אזי לכל שרשרת <math>\{F_i\}_{i\in I}</math> של בובים יש איבר מקסמאלי ביחס ל <math>R</math> שהוא
<math>F:=\bigcap_{i\in I}F_i</math>. נראה ש <math>F</math> בוב.
א. <math>\forall i: X\in F_i</math> ולכן נמצא גם בחיתוך.
ב. <math>B,C\in F \Rightarrow \forall i B,C\in F_i \Rightarrow \forall i B\cap C \in F_i \Rightarrow \ B\cap C \in F</math>
ג. באופן דומה.
לפי הלמה של צורן קיים איבר מקס' ביחס ל <math>F'</math> שזה איבר מיני' ביחס להכלה רגילה.
===== לפי עקרון המקסימום של האוסדורף =====
נגדיר <math>\mathcal{O}=\{F|A\subseteq F \land F \; is \; bob\}</math> כל קבוצות בוב שמכילות של A, מסודרת לפי היחס "הכלה הפוכה" (כלומר במקום <math>\subseteq</math> נעבוד עם <math>\supseteq</math>). מתקיים כי <math>\{P(X)\}</math> היא שרשרת (שימו לב ש <math>P(X)</math> היא בוב ומכילה את Aׂ) ולכן מוכלת בשרשרת מקסימאלית <math>\mathcal{C}</math>.
נגדיר <math>F=\cap_{F'\in \mathcal{C}}F'</math>.
ט: F היא בוב שמכילה את A.
ה: כיוון שכל <math>F'\in \mathcal{C}</math> מכיל את A אז גם החיתוך של כולם. נראה ש F היא בוב:
א. לכל <math>F'\in \mathcal{C}</math> היא בוב ולכן <math> X\in F'</math> ולכן נמצא גם בחיתוך.
ב. נניח <math>B,C\in F</math> אזי לכל <math>F'\in \mathcal{C}</math> מתקיים <math>B,C\in F'</math> ולכן <math>B\cap C\in F'</math>
ולכן <math>B\cap C\in \cap_{F'\in \mathcal{C}}F' = F</math>
ג. נניח <math>B \in F \land B\subset C </math> אזי לכל <math>F'\in \mathcal{C}</math> מתקיים <math>C \in F'</math> ולכן <math> C\in F'</math>
ולכן <math> C\in \cap_{F'\in \mathcal{C}}F' = F</math>
ט: F היא בוב '''מינימאלית''' שמכילה את A
ה: נב"ש <math>\hat{F}</math> מוכלת ממש ב F והיא בוב שמכילה את A. אזי אם נצרף את <math>\hat{F}</math> ל C נקבל שרשרת שמכילה ממש את C בסתירה למקסימאליות של C
(שהרי לכל <math>F'\in \mathcal{C}</math> מתקיים <math>F'\supseteq F \supseteq \hat{F}</math>)
===תרגיל===
