ה: לכל 2 תתי קבוצות של A ששיכות ל B קיים <math>i\in I</math> כך ששתי תתי הקבוצות שיכות ל <math>B_i</math> ולכן זרות.
בנוסף כל תת קבוצה של A ששיכת ל B שייכת ל <math>Bֹ_i</math> כלשהוא ולכן מעוצמה a.
קל להראות שהאיחוד הכללי על כל שרשרת באוסף זה שייך לאוסף זה גם כן. לכן לפי הלמה של צורן יש אוסף מקסימלי של קבוצות מעוצמה a.קיים איבר מקס' B
כעת ישנן שתי אופציות:אם <math>\bigcup_{A'\in B}A'=A</math> אז סיימנו
1. האיחוד הכללי על האוסף הנתון הוא כל אחרת קיים <math>A'':=A/\bigcup_{A'\in B (סיימנו) 2}A'</math> לא ריקה. ההפרש בין B לבין האיחוד הכללי הוא אם העוצמה של גדולה שווה מ a אזי יש לה תת קבוצה מעוצמה a שנוכל לצרף ל B וזה יהיה סתירה למקס' של B. אם העוצמה שלה קטנה ממש מ-a. נוסיף אז נוכל לצרף אותה לאחת הקבוצות וקיבלנו את המשל.מ <math>A'\in B</math> ואז נקבל אוסף של קבוצות מעוצמה a שאיחודם כל A (כי <math>|A'\cup A''|=a</math>)
