שינויים
/* הרצאה רביעית */
לסיכום משפטים אלה, מתקיים '''משפט ההתאמה''' בין אידיאלים של החוג R המכילים אידיאל קבוע I, לבין אידיאלים של חוג המנה R/I. ההתאמה שומרת על כל דבר שאפשר להעלות על הדעת: הכלה, חיבור, כפל, חיתוך ומנות.
=== הרצאה חמישית ===
הוכחנו בעזרת הלמה של צורן שבכל חוג עם יחידה, כל אידיאל מוכל באידיאל מקסימלי; בפרט יש בחוג אידיאלים מקסימליים. הגדרנו [[חוג פשוט]] (שהוא חוג ללא אידיאלים אמיתיים חוץ מאפס), וראינו שאידיאל הוא מקסימלי אם ורק אם המנה ביחס אליו פשוטה. החוגים הפשוטים הקומוטטיביים אינם אלא שדות, ולכן אידיאל בחוג קומוטטיבי הוא מקסימלי אם ורק אם המנה ביחס אליו היא שדה. למעשה, המרכז של כל חוג פשוט הוא שדה.
חוג עם חילוק הוא חוג ללא אידיאלים חד-צדדיים (אמיתיים שונים מאפס), ולכן כל חוג עם חילוק הוא פשוט. כל חוג מטריצות מעל חוג פשוט הוא פשוט (עובדה זו, שלא הוכחנו, נובעת מכך שכל אידיאל בחוג מטריצות הוא למעשה אוסף המטריצות מעל אידיאל מתאים בחוג המקדמים).
[[חוג ראשוני]] הוא חוג שבו מכפלת אידיאלים שונים מאפס אינה אפס. כל תחום הוא ראשוני, ובחוגים קומוטטיביים אין הבדל: חוג קומוטטיבי הוא ראשוני אם ורק אם אין בו מחלקי אפס. כל חוג פשוט הוא ראשוני, אבל משפחת החוגים הראשוניים רחבה בהרבה. למשל, חוג שיש לו הרחבה מרכזית שהיא חוג פשוט, הוא ראשוני. מכאן ש-<math>\ M_n(\mathbb{Z})</math> הוא חוג ראשוני, שאינו פשוט ואינו תחום.
=== הרצאה שישית ===
הגדרנו מהו אידיאל ראשוני (אם הוא "מחלק" מכפלה של אידיאלים, אז הוא מחלק את אחד הגורמים. לצורך זה "מחלק" פירושו מכיל, כמו באידיאלים של חוג השלמים). הראינו שאידיאל הוא ראשוני אם ורק אם המנה ביחס אליו היא חוג ראשוני. מכאן שכל אידיאל מקסימלי הוא ראשוני. אידיאל האפס ראשוני אם ורק אם החוג ראשוני.
ראינו שהתמונה של אידיאל תחת הומומורפיזם אינה בהכרח אידיאל. לעומת זאת המקור של אידיאל הוא תמיד אידיאל. אם ההומומורפיזם הוא על, אז המקור של אידיאל ראשוני או מקסימלי הוא ראשוני או מקסימלי בהתאמה, אבל אם ההומומורפיזם אינו על זה לא בהכרח כך.
הבחנו שלכל n אידיאלים <math>\ I_1,\dots,I_n</math> בחוג, קיים שיכון <math>\ R/(I_1 \cap \cdots \cap I_n) \ra R/I_1 \times \cdots \times R/I_n</math>. הגדרנו ששני אידיאלים I,J הם קו-מקסימליים אם סכומם הוא החוג כולו, וציטטנו את [[משפט השאריות הסיני]], שלפיו אם <math>\ I_1,\dots,I_n</math> קו-מקסימליים בזוגות, אז השיכון <math>\ R/(I_1 \cap \cdots \cap I_n) \ra R/I_1 \times \cdots \times R/I_n</math> הוא על.
(בהמשך: הוכחת משפט השאריות הסיני, חוגים מקומיים, ובניית שדה המספרים הממשיים בשיטה אלגברית).
