ראינו שהתמונה של אידיאל תחת הומומורפיזם אינה בהכרח אידיאל. לעומת זאת המקור של אידיאל הוא תמיד אידיאל. אם ההומומורפיזם הוא על, אז המקור של אידיאל ראשוני או מקסימלי הוא ראשוני או מקסימלי בהתאמה, אבל אם ההומומורפיזם אינו על זה לא בהכרח כך.
הבחנו שלכל n אידיאלים <math>\ I_1,\dots,I_n</math> בחוג, קיים שיכון <math>\ R/(I_1 \cap \cdots \cap I_n) \ra rightarrow R/I_1 \times \cdots \times R/I_n</math>. הגדרנו ששני אידיאלים I,J הם קו-מקסימליים אם סכומם הוא החוג כולו, וציטטנו את [[משפט השאריות הסיני]], שלפיו אם <math>\ I_1,\dots,I_n</math> קו-מקסימליים בזוגות, אז השיכון <math>\ R/(I_1 \cap \cdots \cap I_n) \ra rightarrow R/I_1 \times \cdots \times R/I_n</math> הוא על.
(בהמשך: הוכחת === הרצאה שביעית === הוכחנו את משפט השאריות הסיני, בעזרת הצגת המספר 1 כצירוף האברים של אידיאלים מקסימליים. ההוכחה מבוססת על בניה של "וקטורי יחידה", שהם אברים של החוג המקורי, השקולים ל-1 מודולו אחד האידיאלים, ושקולים לאפס מודולו כל השאר. כשמפעילים את המשפט על חוגים מקומייםמהצורה <math>\ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> (כלומר מנות של [[חוג המספרים השלמים]]) מתברר שכל חוג כזה הוא מכפלה של חוגי מנה ביחס לחזקות של אידיאלים מקסימליים. הגדרנו מהו [[חוג מקומי]] (קומוטטיבי) - חוג שיש לו אידיאל מקסימלי יחיד - והראינו שכל חוג מהצורה <math>\ R/M^n</math>, ובניית כאשר M מקסימלי, הוא מקומי. את החוגים המקומיים קל לזהות לפי אוסף האברים הלא-הפיכים שלהם (שהוא אידיאל). בנוסף לדוגמאות מהצורה <math>\ \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, ראינו שגם <math>\ F[[x]]</math> הוא מקומי. אפשר לחקות את הבניה של החוג האחרון ולהגדיר את [[חוג השלמים ה-p-אדיים]] בתור חוג הסכומים הפורמליים <math>\ \sum_{n=0}^\infty a_n p^n</math>, כאשר המקדמים שלמים כלשהם. שני סכומים מייצגים את אותו איבר אם הם שקולים זה לזה מודולו כל חזקה של p. גם חוג השלמים ה-p-אדיים הוא מקומי: כל מספר שאינו מתחלק ב-p, הפיך שם (ויותר מזה: כאשר p אי-זוגי, לכל מספר שיש לו שורש מודולו p, יש גם שורש בחוג הזה). כל חוג מקומי מלווה באופן טבעי בשדה - שדה השאריות (=חוג המנה) של החוג ביחס לאידיאל המקסימלי שלו. === הרצאה שמינית === שוחחנו קצת על חוגים סדורים ובמיוחד על שדות סדורים (שדות שמוגדר עליהם [[יחס סדר לינארי]], כך שסכום או מכפלה של אברים חיוביים הם חיוביים). הקדשנו את עיקר השעור לבניה של חוג מעניין, R, עם מנה מקומית R/J, ששדה השאריות שלה הוא שדה סדור ארכימדי ושלם. לשדה הזה קוראים [[שדה המספרים הממשיים בשיטה אלגברית]]. R הוא החוג של כל סדרות-קושי מעל הרציונליים, J הוא האידיאל של הסדרות המתאפסות-לבסוף, והאידיאל המקסימלי של R/J כולל את כל הסדרות המתכנסות לאפס, מודולו J כמובן. אגב, הנסיון להוכיח שה"אלכסון" של סדרת קושי של אברים של R/J מתכנס היה חסר תוחלת, משום שאף איבר קונקרטי של סדרה ב-R/J אינו מוגדר היטב: הרי אפשר לשנות בסדרה כזו מספר סופי של אברים מבלי להרגיש. ראו הוכחה מלאה ופרטים נוספים בחוברת (סוף סעיף 2.3 בגרסאות 1.1 ומעלה). בניית המספרים הממשיים אינה נכללת בחומר למבחן.
