שינויים
1-14
אגב, הנסיון להוכיח שסדרת קושי של אברים של R/J מתכנסת ל"אלכסון" שלה היה חסר תוחלת, משום שאף איבר קונקרטי של סדרה ב-R/J אינו מוגדר היטב: הרי אפשר לשנות בסדרה כזו מספר סופי של אברים מבלי להרגיש (לכן הסדרה שבאלכסון מוגדרת אם מדובר באברים של R, אבל היא כלל אינה מוגדרת כשנתונה סדרת אברים ב-R/J). ראו הוכחה מלאה ופרטים נוספים בחוברת (סוף סעיף 2.3 בגרסאות 1.1 ומעלה). בניית המספרים הממשיים אינה נכללת בחומר למבחן.
=== הרצאה תשיעית ===
מיקום: נניח ש-R חוג כלשהו, ו-S תת-קבוצה המוכלת במרכז של R, כוללת את איבר היחידה, סגורה לכפל, וכל אבריה רגולריים (כלומר אינם אפס ואינם מחלקי אפס). הגדרנו יחס שקילות על אוסף הזוגות <math>\ S \times R</math>, ואנו חושבים על המחלקה של <math>\ (s,r)</math> כאילו היא השבר <math>\ s^{-1}r = \frac{r}{s}</math>. על אוסף השברים (המחלקות) אפשר להגדיר פעולות חיבור וכפל, ההופכות את אוסף השברים לחוג, <math>\ S^{-1}R</math>, עם כמה תכונות חשובות:
# יש שיכון של R ב-<math>\ S^{-1}R</math>, לפי <math>\ r \mapsto 1^{-1}r = \frac{r}{1}</math>.
# כל איבר של S הפיך ב-<math>\ S^{-1}R</math>.
# <math>\ S^{-1}R</math> הוא החוג הקטן ביותר עם שתי תכונות אלו, כלומר, לכל חוג T המכיל את R שבו אברי S הפיכים, יש שיכון <math>\ S^{-1}R \rightarrow T</math>.
הקשר בין אידיאלים של R לאידיאלים של <math>\ S^{-1}R</math>: כל אידיאל I של R אפשר לשלוח לאידיאל <math>\ S^{-1}I</math> של <math>\ S^{-1}R</math>; ולהיפך, כל אידיאל A של <math>\ S^{-1}R</math> אפשר לשלוח לחיתוך <math>\ A \cap R</math>, שהוא אידיאל של R.
=== הרצאה אחת-עשרה ===
מתברר שהרכבת הפונקציות (מסוף השעור הקודם) בסדר הנכון היא העתקת הזהות: <math>\ S^{-1}(A \cap R) = A</math> לכל אידיאל A של <math>\ S^{-1}R</math>. מכאן נובע:
# כל אידיאל של <math>\ S^{-1}R</math> הוא מהצורה <math>\ S^{-1}I</math> לאידיאל I של R.
# החיתוך של אידיאל של <math>\ S^{-1}R</math> עם R, קובע את האידיאל.
תחת ההעתקות האלה, כל אידיאל של R שאינו חותך את S עובר לאידיאל אמיתי של <math>\ S^{-1}R</math>, ולהיפך.
'''משפט'''. קיימת התאמה חד-חד-ערכית ועל בין אידיאלים *ראשוניים* של R שאינם חותכים את S, לבין אידיאלים *ראשוניים* של <math>\ S^{-1}R</math>.
הדוגמא (הכללית) החשובה ביותר מתקבלת כאשר R תחום שלמות, ו-S הוא המשלים של אידיאל ראשוני P. במקרה זה יש התאמה בין האידיאלים הראשוניים של <math>\ R_P = (R-P)^{-1}R</math> לבין האידיאלים הראשוניים של R המוכלים ב-P. בפרט, החוג <math>\ R_P</math> הוא [[חוג מקומי]], והאידיאל המקסימלי היחיד שלו הוא <math>\ P_P = (R-P)^{-1}P</math>.
במקרה הקיצוני P=0, מתקבל באופן הזה [[שדה השברים]] של תחום השלמות R. מכאן שכל תחום שלמות מוכל בשדה כלשהו. תרגיל קשה: לתאר את שדה השברים של <math>\ \mathbb{Z}[[x]]</math>.
=== הרצאה שתים-עשרה ===
בשעורים הקרובים נלמד תחומי שלמות. כדי להרחיב את מאגר הדוגמאות שלנו, נתבונן בחוגים <math>\ \mathcal{O}_D</math>, שאותם הגדרנו עבור D חופשי מגורמים ריבועיים כך: אם D אינו שקול ל-1 מודולו 4, אז <math>\ \mathcal{O}_D = \mathcal{Z}[\sqrt{D}]</math>. אחרת, <math>\ \mathcal{O}_D = \mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{D}}{2}]</math>. על החוגים האלו מוגדרות פונקציית עקבה (אדיטיבית) ונורמה (כפלית) אל המספרים השלמים, וכל איבר מקיים משוואה ריבועית במקדמים שלמים. למעשה כל מספר מרוכב המקיים משוואה ריבועית במקדמים שלמים שייך לאחד החוגים האלו.
נקודת המבט שלנו על תחומי שלמות היא דרך פירוק לגורמים. אפשר להגדיר בחוג את יחס החלוקה (a מחלק את b אם קיים c כך ש-b=ac); זהו אמנם לא יחס סדר (הוא אינו אנטי-סימטרי), אבל כשמבחינים שהמחלקים של 1 הם האברים ההפיכים, אפשר להגדיר בעזרתו את יחס החברות: שני אברים הם '''חברים''' אם הם מחלקים זה את זה; ואז כל אחד מהם הוא כפולת האחר בגורם הפיך. יחס החלוקה הוא יחס סדר (חלש) על מחלקות החברות.
המחלקים הטריוויאליים של איבר הם החברים שלו וההפיכים. איבר (שונה מאפס, לא הפיך) שאין לו מחלקים לא טריוויאליים נקרא '''אי-פריק'''. למשל, איבר של <math>\ \mathcal{O}_D</math> שהנורמה שלו ראשונית (בשלמים), הוא אי-פריק; אבל גם איברים בעלי נורמה שאינה ראשונית יכולים להיות אי-פריקים.
בחוג המספרים השלמים כל מספר מתפרק באופן יחיד כמכפלה של גורמים אי-פריקים, וזו התכונה שהיינו רוצים להכליל לתחומי שלמות אחרים.
=== הרצאה שלוש-עשרה ===
תחום '''אטומי''' הוא תחום שלמות שבו כל איבר אפשר לכתוב כמכפלה של אי-פריקים (יש בו "מספיק" אי-פריקים). כל החוגים <math>\ \mathcal{O}_D</math> הם אטומיים, בזכות הנורמה הכפלית.
תחום שלמות מקיים את '''תנאי שרשרת המחלקים''' אם אין בו שרשרת אינסופית של מחלקים אמיתיים, <math>\ \cdots | a_3 | a_2 | a_1</math> (שרשראות בכיוון ההפוך תמיד יש!). כל תחום שלמות בעל תכונה זו הוא אטומי. מתברר שהתנאי שקול לכך שלא תהיה בחוג שרשרת עולה של אידיאלים *ראשיים* (שרשראות יורדות תמיד יש).
הכללת התנאי על שרשראות אידיאלים מובילה אותנו להגדרה של '''חוג נתרי''': חוג שבו אין שרשרת עולה של אידיאלים (זו ההגדרה למקרה הקומוטטיבי; במקרה הלא-קומוטטיבי "חוג נתרי שמאלי" הוא חוג שבו אין שרשרת עולה של אידיאלים שמאליים, וכך אפשר להגדיר גם "חוג נתרי ימני"; התכונות אינו שקולות זו לזו). כמובן, כל חוג נתרי מקיים את תנאי שרשרת המחלקים, ולכן הוא אטומי.
'''משפט'''. חוג (קומוטטיבי) הוא נתרי אם ורק אם כל אידיאל שלו נוצר סופית.
אידיאל הנוצר על-ידי איבר אחד נקרא '''אידיאל ראשי''' (אין שום קשר לראשוניות). תחום שלמות שבו כל אידיאל הוא ראשי נקרא '''תחום ראשי'''. כמובן, כל תחום ראשי הוא נתרי. בפרט, חוג המספרים השלמים הוא נתרי.
כל חוג מנה של חוג נתרי גם הוא נתרי.
'''משפט הבסיס של הילברט'''. אם R חוג נתרי, אז גם חוג הפולינומים <math>\ R[x]</math> נתרי. רעיון ההוכחה: אם יש בחוג הפולינומים אידיאל I שאינו נוצר סופית, אז יש ב-R שרשרת עולה של אידיאלים, הנוצרים על-ידי המקדמים של פולינומים מ-I.
לכן, באינדוקציה, <math>\ F[x_1,\dots,x_n]</math> נתרי לכל שדה F. מכאן נובע שכל חוג קומוטטיבי נוצר סופית הוא נתרי.
=== הרצאה ארבע-עשרה ===
הגדרנו מתי איבר p של תחום שלמות הוא '''איבר ראשוני''': אם הוא אינו יכול לחלק מכפלה בלי לחלק את אחד הגורמים שלה. מתברר שתנאי זה שקול לכך שהאידיאל הראשי ש-p יוצר (<math>\ Rp = \{xp: x\in R\}</math>) הוא '''אידיאל ראשוני'''.
כל איבר ראשוני הוא אי-פריק, אבל ההיפך אינו בהכרח נכון.
אם יש לאיבר כלשהו פירוק לגורמים ראשוניים, אז הפירוק הזה הוא הפירוק היחיד שלו לגורמים אי-פריקים. עובדה זו מובילה אותנו לבחון חוגים בעלי התכונה "כל אי-פריק הוא ראשוני".
'''הגדרה'''. תחום שלמות שבו לכל איבר יש פירוק *יחיד* (עד כדי סדר וחברות) לגורמים אי-פריקים, נקרא '''תחום פריקות יחידה'''.
הוכחנו שתכונה זו שקולה לכך שהחוג גם אטומי וגם כל אי-פריק בו הוא ראשוני.
הוכחנו שבכל תחום ראשי (ולמעשה כל תחום בזו: תחום שלמות שבו כל אידיאל *נוצר סופית* הוא ראשי), כל אי-פריק הוא ראשוני. מכאן שכל תחום ראשי הוא תחום פריקות יחידה.
הצעד הבא הוא למצוא קריטריון טכני לכך שחוג יהיה ראשי, ולהראות שכמה מהחוגים <math>\ \mathcal{O}_D</math> מקיימים את הקריטריון הזה.
