שינויים
תרגילי הבית אינם להגשה, אך מומלץ מאוד לפתור אותם על מנת לעקוב אחרי הנעשה בקורס. בנוסף, ייתכן שבחלק מהתרגולים נשתמש בטענות ובדוגמאות המופיעות בתרגילי הבית.
*[[מדיה:88212exe01 2021B.pdf|תרגיל 1]]
*[[מדיה:88212exe02 2021B.pdf|תרגיל 2]]
==קבצי הרצאות==
*[[מדיה:8821202 lesson1 board 080321.pdf|תרגול 1, 8.3.2021]]
*[[מדיה:8821202 lesson2 board 150321.pdf|תרגול 2, 15.3.2021]]
==תשובות לשאלות מהתרגול==
'''שאלה:'''
האם קיימים חוגים לא איזומורפיים <math>R,S</math> כך שהחבורות החיבוריות שלהם איזומורפיות וגם המונואידים הכפליים שלהם (כלומר <math>R\setminus\{0\},S\setminus\{0\}</math> ביחס לפעולות הכפל המתאימות) איזומורפיים?
'''תשובה:'''
כן. אפשר למשל לקחת <math>R=F[x],S=F[x,y]</math>. נדע להוכיח את הטענה הזו בהמשך הקורס (ואז אוסיף לפה את רעיון ההוכחה).
'''שאלה:'''
האם מכפלה נקודתית של קוסטים שווה למכפלה של קוסטים כפי שהגדרנו אותה? כלומר, האם <math>(a+I)(b+I)=ab+I\overset{?}{=}\{(a+x)(b+y)\mid x,y\in I\}</math>?
'''תשובה:'''
לא! באופן כללי יש הכלה של המכפלה הנקודתית (אגף ימין) באגף שמאל, אך לא חייב להיות שוויון. ניקח למשל <math>R=\mathbb{Z}</math> ו-<math>I=4\mathbb{Z}</math>. אפשר לבדוק שבמקרה הזה <math>(2+4\mathbb{Z})^2=4\mathbb{Z}</math> לפי הגדרת הכפל שלנו, אך <math>0</math> אינו מופיע כאיבר במכפלה הנקודתית (כי אף קוסט אינו מכיל את <math>0</math>).
'''שאלה:'''
איך נראה חוג שבו כל תת-חוג הוא אידאל? (לחוגים שמקיימים את התכונה הזו קוראים ''חוגים המילטוניים'', ובאנגלית בקיצור H-rings).
'''תשובה:'''
נראה כי חוג כזה חייב להיות <math>\{0\}</math>, <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> או <math>\mathbb{Z}</math>. נניח שהחוג שלנו הוא לא חוג האפס, ונסתכל על תת-החוג <math>S</math> הנוצר על ידי <math>1</math>. זו בעצם התמונה של ההומומורפיזם היחיד <math>\mathbb{Z}\to R</math>. לפי ההנחה, <math>S</math> חייב להיות אידאל. אבל אז לכל <math>a\in R</math> מתקיים <math>a=a\cdot 1\in S</math>. לכן <math>R=S</math>. מפה אפשר לקבל את הטענה בקלות.
השאלה הזו נהיית מעניינת יותר אם עוברים לחוגים בלי יחידה. שם אין לנו מיון מלא של כל החוגים ההמילטוניים ללא יחידה, אבל יש עבודות בנושא.
==חומר נוסף==
