* 29.4.2021 - בשעה 18:00
* 20.5.2021 - בשעה 18:00
* העליתי לכם תרגול השלמה ותרגיל בית המתאים לו. בתרגול הבא נעבור על הנושא בזריזות, לכן מומלץ לקרוא את התרגול ולעבור עליו לפני. ===מבחן מועד א'=== [[מדיה:rings81a.pdf|טופס מועד א']]. בשאלה 3, כדי להוכיח ש-f קיים אפשר (וכדאי) לזהות את <math>M</math> עם <math>N\times L</math>. ===בוחן 1=== [[מדיה:88212quiz1 2021B.pdf|טופס הבוחן]], ו[[מדיה:88212quiz1 2021B-sol.pdf|פתרונו]]. שימו לב שלשאלות מסוימות יכולות להיות מספר תשובות, ולא כולן כתובות פה. הבוחן הראשון יתקיים ביום חמישי, 29.4, בשעה 18:00. הנושאים לבוחן הם כל מה שלמדנו בהרצאה ובתרגול עד ה-19.4, כולל (החומר ופרטים של יריעות אלגבריות הוא בגדר העשרה). בבוחן לא תצטרכו לזכור הוכחות משפטים מן ההרצאה, אך כמובן תצטרכו לזכור את ההגדרות ואת המשפטים, וייתכנו הוכחות של טענות קצרות יותר שהופיעו בהרצאה ובתרגול. בעמודי הקורס מהשנים הקודמות תוכלו למצוא מערכי תרגול ותרגילי בית נוספים יפורסמו לקראת . רוב התרגילים שהיו בתרגילים שלכם חופפים לכאלו שהיו בשנים הקודמות, אך יש מעט הבדלים. מבחינת בחנים, הבחניםשל תשע"ח ושל תשע"ט שניהם מכסים את החומר שהגענו אליו. הבוחן של תשע"ז מתייחס גם לנושאים שפחות התעסקנו בהם. השאלות שכן בחומר הן שאלה 1 ושאלה 2ב' שאפשר לפתור בלי סעיף א' (וניסוח אלטרנטיבי לסעיף א': הוכיחו שבחוג <math>F[x]/\langle x^2\rangle</math> יש אידאל מקסימלי יחיד). בהצלחה! ===בוחן 2=== [[מדיה:88212quiz2 2021B.pdf|טופס הבוחן]], ו[[מדיה:88212quiz2 2021B-sol.pdf|פתרונו]]. הבוחן השני יתקיים ביום חמישי, 20.5, בשעה 18:00 אם זה יתאפשר. החומר לבוחן: כל החומר עד תחומי שלמות לסוגיהם (כולל). כלומר: עד הרצאה 10 כולל ועד תרגול 7 כולל. אתם יכולים לתרגל את החומר מתרגילי הבית, לעבור על חוברת הקורס של פרופ' וישנה (יש בה הרבה תרגילים בכל הנושאים), ולהסתכל במבחנים משנים קודמות על השאלות בנושאים הרלוונטיים. ===בוחן 2 השני=== [[מדיה:88212quiz2b 2021B.pdf|טופס הבוחן]], ו[[מדיה:88212quiz2b 2021B-sol.pdf|פתרונו]]. המועד הנוסף לבוחן 2 הוא יום חמישי, 3.6, בשעה 18:00. החומר לבוחן: כל הנושאים שלמדנו בתורת החוגים, וההתחלה של נושא מודולים (כולל: הגדרות בסיסיות, משפטי האיזומורפיזם, מודולים פשוטים, מודולים ציקליים, מודולים נוצרים סופית, מודולים חופשיים). הנושא של מאפס ושל פיתול שלמדתם בהרצאה אינו בחומר לבוחן.
==תרגילי בית==
*[[מדיה:88212exe01 2021B.pdf|תרגיל 1]], [[מדיה:88212exe01 2021B sol.pdf|פתרון תרגיל 1]]
*[[מדיה:88212exe02 2021B.pdf|תרגיל 2]], [[מדיה:88212exe02 2021B sol.pdf|פתרון תרגיל 2]]
*[[מדיה:88212exe03 2021B.pdf|תרגיל 3]] (תוקנה , [[מדיה:88212exe03 2021B sol.pdf|פתרון תרגיל 3]]*[[מדיה:88212exe04 2021B.pdf|תרגיל 4]], [[מדיה:88212exe04 2021B sol.pdf|פתרון תרגיל 4]]*[[מדיה:88212exe05 2021B.pdf|תרגיל 5]], [[מדיה:88212exe05 2021B sol.pdf|פתרון תרגיל 5]]*[[מדיה:88212exe06 2021B.pdf|תרגיל 6]], [[מדיה:88212exe06 2021B sol.pdf|פתרון תרגיל 6]]*[[מדיה:88212exe07 2021B.pdf|תרגיל 7]], [[מדיה:88212exe07 2021B sol.pdf|פתרון תרגיל 7]]*[[מדיה:88212exe08 2021B.pdf|תרגיל 8]], [[מדיה:88212exe08 2021B sol.pdf|פתרון תרגיל 8]] יש טעות בשאלה 6ג' 1ג - חיתוך אידאלים במקום מכפלההכוונה הייתה לפולינום <math>2ix^5+17</math> ולא <math>2ix^5+71</math>. הטענה על מכפלה נכונה רק בחוגים חילופייםאבל אפשר להראות ששניהם אי-פריקים לפי אייזנשטיין; את אי-הפריקות של <math>2ix^5+17</math> מראים בפתרון המצורף, ואת אי-הפריקות של <math>2ix^5+71</math> אפשר להראות לפי קריטריון אייזנשטיין עם <math>p=71</math> (שימו לב שזהו באמת איבר ראשוני ב-<math>\mathbb{Z}[i]</math> לפי המיון מתרגיל 7. אחרת, היינו צריכים לפרק גם אותו למכפלה של שני איברים ראשוניים, ואז להשתמש באייזנשטיין עם אחד מהם)*[[מדיה:88212exe09 2021B.pdf|תרגיל 9]], [[מדיה:88212exe09 2021B sol.pdf|פתרון תרגיל 9]]*[[מדיה:88212exe10 2021B.pdf|תרגיל 10]], [[מדיה:88212exe10 2021B sol.pdf|פתרון תרגיל 10]]*[[מדיה:88212exe11 2021B.pdf|תרגיל 11]], [[מדיה:88212exe11 2021B sol.pdf|פתרון תרגיל 11]] (בשאלה 9ב, זו אכן הוכחה אם מוסיפים את ההנחה <math>L\subseteq M</math>. אם אין את ההנחה הזו, זו הפרכה)*[[מדיה:88212exe12 2021B.pdf|תרגיל 12]], [[מדיה:88212exe12 2021B sol.pdf|פתרון תרגיל 12]]הדרכה לשאלה 5: זו שאלה די טכנית, אז מספיק שתבדקו את אחד הערכים של <math>D</math> לצורך העניין. כדי למצוא את הפירוק, אפשר ללכת בשתי דרכים. האחת -- לנסות לפרק את האיבר המתאים (למשל <math>2</math> ב-<math>\mathcal{O}_{11}</math>), כי כל פירוק שלו הוא אוטומטית פירוק של האידאל. אחר כך לבדוק האם הגורמים ראשוניים, ואם לא - לנסות לפרק את האידאלים שלהם. אבל דרך קצת יותר ישירה: אנחנו יודעים ש-<math>P</math> מופיע בפירוק של אידאל <math>I</math> אם ורק אם <math>I\subseteq P</math>. ממשפט ההתאמה, אנחנו יודעים שכל אידאל כזה מתאים לאידאל מקסימלי של חוג המנה <math>\mathcal{O}_D/I</math>. אז אפשר לחשב את חוג המנה, למצוא את האידאלים המקסימליים שלו, וכך לחזור לאידאלים המקסימליים שמכילים את <math>I</math>.
==קבצי הרצאות==
*[[מדיה:88212_5781_Lecture6.pdf|הרצאה 6, 7.4.2021]]
*[[מדיה:88212_5781_Lecture7.pdf|הרצאה 7, 12.4.2021]]
*[[מדיה:88212_5781_Lecture8.pdf|הרצאה 8, 19.4.2021]]*[[מדיה:88212_5781_Lecture9.pdf|הרצאה 9, 21.4.2021]]*[[מדיה:88212_5781_Lecture10.pdf|הרצאה 10, 26.4.2021]]*[[מדיה:88212_5781_Lecture11.pdf|הרצאה 11, 28.4.2021]]*[[מדיה:88212_5781_Lecture12.pdf|הרצאה 12, 3.5.2021]]*[[מדיה:88212_5781_Lecture13.pdf|הרצאה 13, 5.5.2021]]*[[מדיה:88212_5781_Lecture14.pdf|הרצאה 14, 12.5.2021]]*[[מדיה:88212_5781_Lecture15.pdf|הרצאה 15, 19.5.2021]]*[[מדיה:88212_5781_Lecture16.pdf|הרצאה 16, 24.5.2021]]*[[מדיה:88212_5781_Lecture17.pdf|הרצאה 17, 26.5.2021]]*[[מדיה:88212_5781_Lecture18.pdf|הרצאה 18, 31.5.2021]]*[[מדיה:88212_5781_Lecture19.pdf|הרצאה 19, 2.6.2021]]*[[מדיה:88212_5781_Lecture20.pdf|הרצאה 20, 7.6.2021]]*[[מדיה:88212_5781_Lecture21.pdf|הרצאה 21, 9.6.2021]]*[[מדיה:88212_5781_Lecture22.pdf|הרצאה 22, 14.6.2021]]*[[מדיה:88212_5781_Lecture23.pdf|הרצאה 23, 16.6.2021]]*[[מדיה:88212_5781_Lecture24.pdf|הרצאה 24, 21.6.2021]]*[[מדיה:88212_5781_Lecture25.pdf|הרצאה 25, 28.6.2021]]*[[מדיה:88212_5781_Lecture26.pdf|הרצאה 26, 30.6.2021]]
==קבצי תרגולים==
*[[מדיה:8821202 lesson2 board 150321.pdf|תרגול 2, 15.3.2021]]
*[[מדיה:8821202 lesson3 board 050421.pdf|תרגול 3, 5.4.2021]]
*[[מדיה:8821202 lesson4 board 120421.pdf|תרגול 4, 12.4.2021]]
השלמה מתרגול 4: הוכחה מלאה לכך ש-<math>\mathbb{C}[x,y]/\langle xy-1\rangle\cong\mathbb{C}[t,t^{-1}]</math>, [[מדיה:rec4 proof from class.pdf|נמצאת פה]].
*[[מדיה:8821202 lesson5 board 190421.pdf|תרגול 5, 19.4.2021]]
*[[מדיה:8821202 lesson6 board 260421.pdf|תרגול 6, 26.4.2021]]
*[[מדיה:8821202 lesson7 board 030521.pdf|תרגול 7, 3.5.2021]]
*[[מדיה:88212rec7.5 2021B.pdf|תרגול השלמה - לקריאה עצמית]]. הוספתי בהמשך העמוד הזה הוכחה למשפט 3 בתרגול למעוניינים. בנוסף, שימו לב שבמסקנה 24 צריך להניח ש-<math>g</math> הוא פרימיטיבי בעצמו.
*[[מדיה:8821202 lesson9 board 240521.pdf|תרגול 9, 24.5.2021]]
*[[מדיה:8821202 lesson10 board 310521.pdf|תרגול 10, 31.5.2021]]
תיקון לטעות קטנה שאמרתי בתרגול: אם <math>R</math> תחום ראשי ו-<math>M</math> מודול נוצר סופית מעל <math>R</math>, הגדרנו אפימורפיזם <math>\pi:R^n\to M</math> (כאשר <math>x_1,\dots,x_n</math> יוצרים של <math>M</math>). טענתי ש-<math>\ker\pi</math> נוצר סופית. הסיבה לכך היא שהוא תת-מודול של <math>R^n</math>, ולפי הטענה מתחילת החלק הזה הוא בהכרח חופשי בעצמו ונוצר על ידי לכל היותר <math>n</math> איברים.
*[[מדיה:8821202 lesson11 board 070621.pdf|תרגול 11, 7.6.2021]], ולהלן [[מדיה:88212 modules over pid.pdf|מודולים מעל תחום ראשי - הסיפור הכמעט מלא]] עם הוכחות לחלק מהטענות שטענתי בתרגול. לשאלות / הערות / בקשות לגביו, מוזמנים לשלוח מייל.
*[[מדיה:8821202 lesson12 board 140621.pdf|תרגול 12, 14.6.2021]]
*[[מדיה:8821202 lesson13 board 210621.pdf|תרגול 13, 21.6.2021]]
בתרגול מופיעה הטענה שכל אידאל בתחום דדקינד נוצר על ידי לכל היותר שני איברים. הנה ניסוח קצת יותר טוב של תחילת ההוכחה: יהי <math>0\neq I\vartriangleleft R</math> אידאל לא אפסי, ויהי <math>0\neq a\in I</math>. נתבונן בפירוק <math>\left\langle a\right\rangle=P_1^{f_1}\cdots P_r^{f_r}</math> של <math>\left\langle a\right\rangle</math> לאידאלים ראשוניים, כאשר <math>f_i>0</math>. כיוון ש-<math>\left\langle a\right\rangle\subseteq I</math>, מתקיים <math>I\mid\left\langle a\right\rangle</math>, ולכן הפירוק של <math>I</math> למכפלת אידאלים ראשוניים הוא מהצורה <math>I=P_1^{e_1}\cdots P_r^{e_r}</math> כאשר <math>0\leq e_i\leq f_i</math> לכל <math>i</math>. עכשיו אפשר להמשיך כמו בתרגול: נבחר את האיבר <math>b</math> כמו שמצוין שם; האידאל <math>\left\langle a\right\rangle\subseteq\left\langle a,b\right\rangle</math>, ולכן גם הגורמים הראשוניים שלו הם <math>P_1,\dots,P_r</math>, ומראים שהחזקות הן <math>e_1,\dots,e_r</math> בהתאמה לפי הנימוק מהתרגול.
*[[מדיה:8821202 lesson14 board 280621.pdf|תרגול 14, 28.6.2021]]
==תשובות לשאלות מהתרגול==
'''תשובה:'''
כן. אפשר למשל לקחת <math>R=F[x],S=F[x,y]</math>. נדע להוכיח את הטענה הזו בהמשך הקורס (ואז אוסיף לפה את רעיון ההוכחה): שני החוגים <math>R</math> ו-<math>S</math> שכתבנו הם תחומי פריקות יחידה. לכן המונואידים הכפליים שלהם איזומורפיים למכפלה ישרה של <math>\mathbb{N}\cup\{0\}</math>, לפי כמות האיברים האי-פריקים בכל אחד מהחוגים. אבל בשניהם יש אותה עוצמה של איברים אי-פריקים, לכן המונואידים הכפליים איזומורפיים.
השאלה הזו נהיית מעניינת יותר אם עוברים לחוגים בלי יחידה. שם אין לנו מיון מלא של כל החוגים ההמילטוניים ללא יחידה, אבל יש עבודות בנושא.
'''שאלה:'''
מדוע עבור חוג חילופי <math>R</math>, איבר <math>c\in R</math> ופולינום <math>f(x)\in R[x]</math>, מתקיים ש-<math>f(c)=0</math> אם ורק אם <math>(x-c)\mid f(x)</math>?
'''תשובה:'''
כדי להוכיח את זה, ניעזר בטענה שמעל כל חוג חילופי <math>R</math> ניתן לחלק עם שארית אם הפולינום שמחלקים בו הוא מתוקן. השתמשנו בטענה הזו מספר פעמים, אתם יכולים למצוא הוכחה שלה [https://math.stackexchange.com/questions/1811541/understanding-divison-by-monic-polynomial-in-rx-where-r-is-an-arbitrary-ri בתשובה הראשונה כאן].
אם <math>(x-c)\mid f(x)</math>, ברור ש-<math>f(c)=0</math>. בכיוון השני, נניח <math>f(c)=0</math>, ונחלק את <math>f(x)</math> בפולינום המתוקן <math>x-c</math> עם שארית: <math>f(x)=q(x)\cdot (x-c)+r</math>, כאשר <math>r</math> חייב להיות קבוע. נציב <math>x=c</math> במשוואה ונקבל <math>0=f(c)=q(c)\cdot 0+r=r</math>. לכן <math>f(x)=q(x)\cdot (x-c)</math>, כלומר <math>(x-c)\mid f(x)</math>.
שימו לב שלמרות שהטענה הזו נכונה, זה לא אומר שהפירוק יחיד. למשל, בחוג <math>\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}</math> יש לפולינום <math>x^2+x</math> ארבעה שורשים שונים: <math>0,2,3,5</math>. ואכן, מעל <math>\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}</math> אפשר לכתוב את הפולינום כך: <math>x^2+x=x(x-5)=(x-2)(x-3)</math> (כי עובדים מודולו <math>6</math>). אלו שני פירוקים לא שקולים של <math>x^2+x</math> למכפלה של גורמים לינאריים, וזו לא בעיה כי <math>\left(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\right)[x]</math> הוא לא תחום פריקות יחידה.
==חומר נוסף==
* [[מדיה:88212rec_2018B-full.pdf|חוברת מערכי תרגול משנת תשע"ח]] גרסה 1.15, נכתבה על ידי תומר באואר. שימו לב כי אמנם ההתחלה תהיה דומה, אך במהלך הקורס יהיו שינויים יותר משמעותיים במערכי התרגול, בהתאם לקצב ההתקדמות ולנושאים שיילמדו השנה.
* העשרה: מאמר עם הוכחה שו<math>\dim R+1\leq\dim R[x]\leq 2\dim R+1</math> נמצא [https://msp.org/pjm/1953/3-2/pjm-v3-n2-p18-s.pdf כאן] (משפט 2). אפשר לנסות לקרוא גם את ההמשך, אבל הוא מכיל מושגים שלא התייחסנו אליהם בינתיים.
[[קטגוריה:88212]]
[[קטגוריה:88212]]