שינויים
*[[מדיה:8821202 lesson6 board 260421.pdf|תרגול 6, 26.4.2021]]
*[[מדיה:8821202 lesson7 board 030521.pdf|תרגול 7, 3.5.2021]]
*[[מדיה:88212rec7.5 2021B.pdf|תרגול השלמה - לקריאה עצמית]]. הוספתי בהמשך העמוד הזה הוכחה למשפט 3 בתרגול למעוניינים.
==תשובות לשאלות מהתרגול==
השאלה הזו נהיית מעניינת יותר אם עוברים לחוגים בלי יחידה. שם אין לנו מיון מלא של כל החוגים ההמילטוניים ללא יחידה, אבל יש עבודות בנושא.
'''שאלה:'''
מדוע עבור חוג חילופי <math>R</math>, איבר <math>c\in R</math> ופולינום <math>f(x)\in R[x]</math>, מתקיים ש-<math>f(c)=0</math> אם ורק אם <math>(x-c)\mid f(x)</math>?
'''תשובה:'''
כדי להוכיח את זה, ניעזר בטענה שמעל כל חוג חילופי <math>R</math> ניתן לחלק עם שארית אם הפולינום שמחלקים בו הוא מתוקן. השתמשנו בטענה הזו מספר פעמים, אתם יכולים למצוא הוכחה שלה [https://math.stackexchange.com/questions/1811541/understanding-divison-by-monic-polynomial-in-rx-where-r-is-an-arbitrary-ri בתשובה הראשונה כאן].
אם <math>(x-c)\mid f(x)</math>, ברור ש-<math>f(c)=0</math>. בכיוון השני, נניח <math>f(c)=0</math>, ונחלק את <math>f(x)</math> בפולינום המתוקן <math>x-c</math> עם שארית: <math>f(x)=q(x)\cdot (x-c)+r</math>, כאשר <math>r</math> חייב להיות קבוע. נציב <math>x=c</math> במשוואה ונקבל <math>0=f(c)=q(c)\cdot 0+r=r</math>. לכן <math>f(x)=q(x)\cdot (x-c)</math>, כלומר <math>(x-c)\mid f(x)</math>.
שימו לב שלמרות שהטענה הזו נכונה, זה לא אומר שהפירוק יחיד. למשל, בחוג <math>\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}</math> יש לפולינום <math>x^2+x</math> ארבעה שורשים שונים: <math>0,2,3,5</math>. ואכן, מעל <math>\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}</math> אפשר לכתוב את הפולינום כך: <math>x^2+x=x(x-5)=(x-2)(x-3)</math> (כי עובדים מודולו <math>6</math>). אלו שני פירוקים לא שקולים של <math>x^2+x</math> למכפלה של גורמים לינאריים, וזו לא בעיה כי <math>\left(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\right)[x]</math> הוא לא תחום פריקות יחידה.
==חומר נוסף==
