==שאלה 5==
===סעיף א===
כמו תמיד בחישוב אינטגרל של ערך מוחלט, צריך לפצל לתחום שבו הפונקציה חיובית ותחום שבו היא שלילית.
במקרה שלנו <math>\cos(\theta)</math> היא חיובית כאשר <math>0\leq\theta \leq \frac{\pi}{2}</math> וכאשר
<math>\frac{3\pi}{2} \leq\theta \leq 2\pi </math>
ושלילית כאשר <math>\frac{\pi}{2}\leq\theta \leq \frac{3\pi}{2}</math>
כלומר
<math>\int _0 ^\pi \, \int_0^\pi \, |\cos(x+y)| \mathrm{d}x\mathrm{d}y
= \iint \limits_{0\leq x+y \leq \frac{\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
-\iint \limits_{\frac{\pi}{2}\leq x+y \leq \frac{3\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
+\iint \limits_{\frac{3\pi}{2}\leq x+y \leq 2\pi } \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y</math>
האינטגרל הראשון הוא:
<math> \iint \limits_{0\leq x+y \leq \frac{\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
= \int _0 ^\frac{\pi}{2} \, \int_0^{\frac{\pi}{2}-x} \, \cos(x+y) \mathrm{d}y \mathrm{d}x
= \int _0 ^\frac{\pi}{2} \, \sin(x+y) \mid_0^{\frac{\pi}{2}-x} \mathrm{d}x
</math>
<math>= \int _0 ^\frac{\pi}{2} \, 1 - \sin(x) \mathrm{d}x
= x+\cos(x) \mid_0 ^\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 1</math>
באופן דומה האינטגרל השלישי הוא:
<math> \iint \limits_{\frac{3\pi}{2}\leq x+y \leq 2\pi } \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
= \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \int_{\frac{3\pi}{2}-x}^{\pi} \, \cos(x+y) \mathrm{d}y\mathrm{d}x
= \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \sin(x+y) \mid_{\frac{3\pi}{2}-x}^{\pi} \mathrm{d}x
</math>
<math>
= \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \sin(x+\pi) +1 \mathrm{d}x = -\cos(x+\pi)+x \mid_\frac{\pi}{2} ^{\pi} = -1+\pi - \frac{\pi}{2}
= -1+ \frac{\pi}{2}
</math>
את האינטגרל השני צריך לפצל
<math>
\iint \limits_{\frac{\pi}{2}\leq x+y \leq \frac{3\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
=
\int _0 ^{\frac{\pi}{2}} \, \int_{\frac{\pi}{2}-x}^{\pi} \, \cos(x+y) \mathrm{d}y\mathrm{d}x+
\int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \int_0^{\frac{3\pi}{2}-x} \, \cos(x+y) \mathrm{d}y\mathrm{d}x
</math>
<math>
=
\int _0 ^{\frac{\pi}{2}} \, \sin(x+y) \mid_{\frac{\pi}{2}-x}^{\pi} \mathrm{d}x+
\int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \sin(x+y) \mid_0^{\frac{3\pi}{2}-x} \mathrm{d}x
=
\int _0 ^{\frac{\pi}{2}} \, \sin(x+\pi) - 1 \mathrm{d}x
\int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, -1 -\sin(x) \mathrm{d}x
</math>
<math>
=
-\cos(x+\pi) - x \mid_0 ^{\frac{\pi}{2}}+
-x +\cos(x) \mid_\frac{\pi}{2} ^{\pi}
=
-\frac{\pi}{2}-1 -\pi -1 + \frac{\pi}{2} = -2-\pi
</math>
לכן הפתרון בסך הכל הוא:
<math>\frac{\pi}{2}-1 +2+\pi +\frac{\pi}{2}-1=2\pi</math>
===סעיף ב===
===סעיף ב===
(אתם מוזמנים לערוך את הפתרון, הוא מופיע גם בדף השאלות והתשובות. התשובה הסופית נכונה.)
מצא את נפח הגוף החסום ע"י המשטחים הבאים: <math>z=x^{2}+y^{2},z=0,x^{2}+y^{2}=x,x^{2}+y^{2}=2x</math>
נראה שצריך להשתמש כאן בקוארדינטות צילינדריות
<math>x=r\cos \theta ,\quad y= r\sin\theta, \quad z=z</math>
לכל <math>(x,y)</math> (או <math>(r,\theta)</math>) מסוימים. ערך <math>z</math> יכול לנוע מ <math>0</math> ועד <math>x^2+y^2</math> (או מ <math>0</math> ועד <math>r^2</math>)
לכן אנחנו רוצים את האינטגרל
<math>\iint \limits_{x\leq x^2+y^2 \leq 2x} \, \int_0^{x^2+y^2} \mathrm{d}z\mathrm{d}x\mathrm{d}y</math>
אחרי מעבר לקוארדינטות צילינדריות, ברור שזה יהיה משהו מהצורה
<math>\int_?^? \, \int_?^? \, \int_0^{x^2+y^2} \, r \mathrm{d}z\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta</math>
הבעיה היא רק לקבוע את הגבולות
נסתכל על התנאים
<math>x^2+y^2=2x,\quad x^2+y^2=x</math>
אלה שני מעגלים
<math>(x-1)^2+y^2=1,\quad (x-\frac{1}{2})^2+y^2=\frac{1}{4}</math>
שניהם נמצאים בצד הימני של המישור <math>x>0</math>
ולכן התחום שלנו עבור <math>\theta</math> יהיה
<math>[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math>
נותר למצוא את התחום של <math>r</math>.
התנאי <math>x^2+y^2=2x</math>
שקול ל <math>r^2=2r\cos\theta</math>
כלומר <math>r=2\cos\theta</math>
בדומה התנאי השני הוא <math>r=\cos\theta</math>
לכן התחום עבור <math>r</math> הוא <math>[\cos\theta,2\cos\theta]</math>
כעת נותר לחשב את האינטגרל
<math>\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \int_{\cos\theta}^{2\cos\theta} \, \int_0^{r^2} \, r \mathrm{d}z\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta
= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \int_{\cos\theta}^{2\cos\theta} \, r^3 \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta
= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \frac{1}{4} r^4 \mid^{2\cos\theta}_{\cos\theta} \mathrm{d}\theta
=\frac{15}{4} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \cos^4\theta \mathrm{d}\theta
</math>
נשתמש (פעמיים) בנוסחא <math>\cos^2(\theta) = \frac{1+\cos2\theta}{2}</math>
ונקבל
<math>\frac{15}{4} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \cos^4\theta \mathrm{d}\theta =
\frac{15}{4} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \,\frac{(1+\cos2\theta)^2}{4} \mathrm{d}\theta =
\frac{15}{16} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \,(1+2\cos2\theta+ \cos^22\theta)\mathrm{d}\theta =
\frac{15}{16} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \,(\frac{3}{2}+2\cos2\theta+ \frac{1}{2}\cos4\theta)\mathrm{d}\theta
</math>
<math>
= \frac{15}{16}(\frac{3}{2}\theta+\sin2\theta+ \frac{1}{8}\sin4\theta) \mid_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}
= \frac{15}{16} ( \frac{3}{2} \pi ) = \frac{45}{32} \pi
</math>
סטודנט העלה הנה עוד פתרון שנראה גם נכון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 08:37, 15 בפברואר 2013 (IST)
גישה פשוטה שנראית לי נכונה: בוא נגיד ש D הוא התחום הנ"ל.