<math>df_a(h)=h_1 df_a(e_1)+...+h_n df_a(e_n)=h_1\frac{\partial f}{\partial x_1}(a)+...+h_n\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)=\sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j}(a)\cdot h_j</math>
===דוגמה בה כל הנגזרות החלקיות קיימות אבל הפונקציה לא דיפרנציאבילית===
<math>f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}\ \text{if}\ (x,y)\neq(0,0) \\ 0\ \text{if}\ x=y=0 \end{cases}</math>
הפונקציה אפילו לא רציפה ב-0! (ניקח מסלולים y=kx ונקבל גבולות שונים)
אך הנגזרות החלקיות קיימות:
<math>\frac{\partial f}{\partial x} (0,0) = \lim_{t\to 0} \frac{f(0+t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0} 0 = 0</math>
ובאופן דומה לנגזרת החלקית לפי y