שינויים
/* הוכחה */
'''מימין לשמאל:'''
נניח <math>f \in \mathcal{R} (P)</math> אז <math>\overline{I}(f)=\operatorname{inf}_{\mathcal Q} \bar{S}(f, \mathcal Q)=\operatorname{sup}_{\mathcal Q} \underline{S}(f,\mathcal{Q}) =\underline{I}(f)=I(f)</math>
יהי אפסילון גדול מ-0
אז
<math>\exists \mathcal Q : I(f)-\frac\epsilon2 < \underline{S}(f,\mathcal{Q})\leq I(f)</math>
<math>\exists \mathcal P : I(f)+\frac\epsilon2 > \bar S(f,\mathcal{P})\geq I(f)</math>
לכן קיימות חלוקות <math>\mathcal {P , Q}</math> כך ש-
<math>I(f)-\frac\epsilon2 < \underline{S}(f,\mathcal{Q}) \leq \bar S(f,\mathcal{P}) < I(f)+\frac\epsilon2 </math>
נגדיר <math>\mathcal T := \mathcal P \cap \mathcal Q</math> (לא מצאתי דרך לבטא את החיתוך עם העיגול מעל. זה הכוונה פה)
<math>I(f)-\frac\epsilon2 < \underline{S}(f,\mathcal{Q})\leq\underline{S}(f,\mathcal{T})\leq \bar S(f,\mathcal{T})\leq \bar S(f,\mathcal{P}) < I(f)+\frac\epsilon2</math>
<math>\bar S(f,\mathcal{T}) -\underline{S}(f,\mathcal{T}) < I(f)+\frac\epsilon2-(I(f)-\frac\epsilon2)=\epsilon </math>
משל
