--[[משתמש:Michael|Michael]] 21:50, 22 בדצמבר 2011 (IST)
למרות שראיתם בהרצאה דוגמה לפתרון מערכת לא הומוגנית אני חושב שכדאי שאפתור עוד אחת כאן. נניח שרוצים לפתור את:
<math>\vec{y}'=\underbrace{\begin{pmatrix} 4 & -3\\8 & -6 \end{pmatrix}}_{A(t)} \vec{y}+\underbrace{\begin{pmatrix} t\\ e^t \end{pmatrix}}_{\vec{b}(t)}</math>
הדבר הראשון שצריכים לעשות הוא למצוא מטריצה יסודית כלשהי, בתרגול ראינו למשל את המטריצה:
<math>Y(t)=\begin{pmatrix} 3 & e^{-2t}\\4 & 2e^{-2t} \end{pmatrix}</math>
השלב הבא הוא לחשב את המטריצה ההופכית, המחשב נתן לי:
<math>Y^{-1}(t)=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2}\\ -2e^{2t} & \frac{3e^{2t}}{2} \end{pmatrix}</math>
נחשב עכשיו את <math>Y^{-1}(t) \vec{b}(t)</math>:
<math>Y^{-1}(t) \vec{b}(t)=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2}\\ -2e^{2t} & \frac{3e^{2t}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t\\ e^t \end{pmatrix}=\left(
\begin{array}{c}
t-\frac{e^t}{2} \\
\frac{3 e^{3 t}}{2}-2 e^{2 t} t
\end{array}
\right) </math>
ניקח אינטגרל (אינטגרל של וקטור עושים רכיב-רכיב):
<math>\int{Y^{-1}(t) \vec{b}(t) dt}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{t^2}{2}-\frac{e^t}{2}+k_1 \\
-e^{2 t} t+\frac{e^{2 t}}{2}+\frac{e^{3 t}}{2}+k_2
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c}
\frac{t^2}{2}-\frac{e^t}{2} \\
-e^{2 t} t+\frac{e^{2 t}}{2}+\frac{e^{3 t}}{2}
\end{array}
\right)+\begin{pmatrix} k_1\\k_2 \end{pmatrix}</math>
כל מה שנותר לעשות הוא להכפיל במטריצה יסודית:
<math>Y(t)( \int{Y^{-1}(t) \vec{b}(t) dt}+\vec{k})=
\left(
\begin{array}{c}
\frac{3 t^2}{2}-t-e^t+\frac{1}{2} \\
2 t^2-2 t-e^t+1
\end{array}
\right)+k_1 \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}+k_2 \begin{pmatrix} e^{-2t}\\2e^{-2t} \end{pmatrix}</math>
זהו בדיוק הפתרון הכללי של המערכת <math>(\vec{y})</math>. אם היה נתון תנאי התחלה היינו צריכים למצוא את הקבועים החופשיים.