[http://www.math-wiki.com/images/5/50/Annihilator_Method.doc קובץ הסבר על שיטת המשמיד (באנגלית)]
[http://www.vibrationdata.com/math/Laplace_Transforms.pdf טבלה של התמרות לפלס - יש גם דברים שלא למדנו]
[http://www.math-wiki.com/images/d/d1/T11s.pdf פתרון תרגיל 11]
[http://www.math-wiki.com/images/9/92/Odegradespdf.pdf ציוני תרגיל]
=הודעות=
'''חשוב: תאריך ההגשה של תרגיל 8 הוא עד יום ראשון הקרוב בשעה 12:00 לתא של פרופ' שיף (113)''' --[[משתמש:Michael|Michael]] 18:02, 4 בינואר 2012 (IST)
העלתי קובץ ובו פתרון של בעיית שפה לפי שיטת גרין.
שימו לב שמדובר כאן על תנאי שפה מסויימים, נא לא להתבלבל.
--[[משתמש:Michael|Michael]] 20:24, 27 בנובמבר 2011 (IST)
העלתי את פתרון תרגיל 11 ואת ציוני התרגילים. מי שמוצא טעות נא להודיע לי --[[משתמש:Michael|Michael]] 20:28, 22 בפברואר 2012 (IST)
----
לגבי התרגול היום (6.12.2011):
כאשר הקבועים הגדולים בלעו את <math>a_0</math>
הערה חשובה: שימו לב שלא תמיד ניתן לפתור את הרקורסיות (אפילו לא במונחים של פונקציית גמא). במקרה כזה רצוי שלפחות תפתחו את הטור לכמה איברים ראשונים.
--[[משתמש:Michael|Michael]] 01:37, 3 בינואר 2012 (IST)
----
הנה דוגמא של מד"ר, כאשר אגף ימין הוא מוגדר למקוטעין:
<math>y''=\begin{cases} 2t & 0 \le t \le \frac{1}{2} \\ 2-2t & \frac{1}{2} \le t \le 1 \end{cases}=f(t), y(0)=y'(0)=0</math>
"כזכור", ניתן לרשום פונקצייה מוגדרת למקוטעין בעזרת פונקציית הביסייד עם שני פרמטרים כך:
<math>f(t)=2t H_{0,\frac{1}{2}}(t)+(2-2t) H_{\frac{1}{2},1}(t)</math>
(האמת שיש כאן קצת בלוף: יש בעיה בנקודות ה"תפירה" <math>t=\frac{1}{2}</math>. לא אמרנו מה קורה לפונקציית הביסייד באפס. אבל בכל מקרה, להתמרת לפלס לא ממש אכפת מה קורה בנקודה בודדת)
נפשט קצת את <math>f(t)</math>:
<math>f(t)=2t (H(t-0)-H(t-\frac{1}{2})+(2-2t) (H(t-\frac{1}{2})-H(t-1))=2t H(t)+(2-2t-2t) H(t-\frac{1}{2})-(2-2t) H(t-1)=</math>
<math>=2tH(t)-4 (t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2 (t-1)H(t-1)</math>
נגדיר פונקצייה נוספת לנוחיותנו:
<math>g(t)=t</math>
ואז ניתן לרשום:
<math>f(t)=2g(t)H(t)-4g(t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2g(t-1)H(t-1)</math>
את התמרת הלפלס של g קל לחשב:
<math>\mathcal{L} \{g(t)\}=\mathcal{L} \{t \}=\mathcal{L} \{t \cdot 1 \}=-\frac{d}{ds} \mathcal{L} \{ 1 \}=-\frac{d}{ds} \frac{1}{s}=- \left(-\frac{1}{s^2} \right)=\frac{1}{s^2}=G(s)</math>
(השתמשתי בתכונה מהשיעור: <math>\mathcal{L} \{ t \cdot (t) \}=-\frac{d}{ds} \mathcal{L} \{ f(t) \}</math>)
נפעיל כעת התמרת לפלס על המד"ר שלנו:
<math>\mathcal{L} \{y''\}=\mathcal{L} \{f \}</math>
<math>s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)=\mathcal{L} \{ 2g(t)H(t)-4g(t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2g(t-1)H(t-1) \}</math>
ע"פ תנאי ההתחלה אגף שמאל הוא בדיוק <math>s^2Y(s)</math>. כדי לחשב את אגף ימין נשתמש בלינאריות של התמרת לפלס, וניזכר בתכונה:
<math>\mathcal{L} \{g(t-c) \cdot H(t-c)\}=e^{-cs} G(s)</math>
המשוואה היא:
<math>s^2Y(s)=2\mathcal{L} \{g(t) H(t) \}-4\mathcal{L} \{g(t-\frac{1}{2}) H(t-\frac{1}{2}) \}+2 \mathcal{L} \{g(t-1) H(t-1) \}</math>
<math>s^2 Y(s)=2 e^{-0 s}G(s)-4 e^{-\frac{1}{2} s} G(s)+2 e^{-1 s} G(s)</math>
<math>s^2 Y(s)=(2-4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) G(s)</math>
<math>s^2 Y(s)=(2-4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) \frac{1}{s^2}</math>
<math>Y(s)=(2-4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) \frac{1}{s^4}</math>
<math>Y(s)=2\frac{1}{s^4}-4 e^{-\frac{1}{2} s}\frac{1}{s^4}+2 e^{-s}\frac{1}{s^4}</math>
נפעיל התמרת לפלס הפוכה כדי לקבל את הפתרון:
<math>y(t)=\mathcal{L}^{-1} \left\{ 2\frac{1}{s^4}-4 e^{-\frac{1}{2} s}\frac{1}{s^4}+2 e^{-s}\frac{1}{s^4} \right\}</math>
ע"פ לינאריות ההתמרה ההפוכה:
<math>y(t)=2\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s^4} \right\}-4\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-\frac{1}{2} s} \frac{1}{s^4} \right\}+2\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-s} \frac{1}{s^4} \right\}</math>
לפי טבלת התמרת לפלס:
<math>\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s^4} \right\}=\frac{t^3}{3!}=\frac{t^3}{6}</math>
אם כן:
<math>y(t)=2\frac{t^3}{6}-4 \frac{(t-\frac{1}{2})^3}{6}H \left(t-\frac{1}{2} \right)+2 \frac{(t-1)^3}{6} H(t-1)</math>
וזהו הפתרון. ניתן לבדוק שהוא רציף וגזיר אפילו בנקודה הבעייתית <math>t=\frac{1}{2}</math>
--[[משתמש:Michael|Michael]] 23:27, 31 בינואר 2012 (IST)