רצוי מאוד שתשתמשו בדרך המלאה הזו, ולא בדרך הקצרה יותר שלמדנו היום.
--[[משתמש:Michael|Michael]] 22:53, 6 בדצמבר 2011 (IST)
----
בתרגול היום דיברנו על מערכות הומוגניות עם מקדמים קבועים:
הדבר הראשון שצריכים לעשות הוא למצוא ע"ע.
למקרה שתתקלו במד"ר בספרות, כדאי שתדעו את השמות של המקרים שנתקלנו בהם.
המקרה הראשון היה ע"ע פשוט ממשי - simple real eigenvalue
המקרה השני היה זוג ע"ע מרוכבים פשוטים - simple complex conjugate pair eigenvalues
המקרה השלישי היה ע"ע מריבוי אלגברי גבוה m שבכל זאת (למזלנו) ניתן למצוא לו m וקטורים עצמיים. לע"ע שכזה קוראים ע"ע שלם - complete eigenvalue
והמקרה הכי פחות קל, ע"ע מריבוי גבוה m שיש לו '''פחות''' מ-m ו"ע. ע"ע כזה נקרא ע"ע דפקטיבי - defective eigenvalue
פתרון יותר מפורט של המקרה האחרון:
רצינו לפתור את המד"ר
<math>\vec{y}=A \vec{y}</math>, כאשר <math>A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}</math>
ל-A יש רק ע"ע אחד <math>\lambda=2</math>. נחפש ו"ע <math>\vec{v}=\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}</math>:
<math>A \vec{v}=\lambda \vec{v}</math>
<math>A \vec{v}=2 \vec{v}</math>
<math>(2I-A)\vec{v}=0</math>
<math>\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \vec{v}=0</math>
מקבלים את התנאי <math>b=0</math> וניתן לקחת <math>a=0</math> ולקבל ו"ע <math>\vec{v}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}</math> ולכן את הפתרון הקלאסי :
<math>\vec{v} e^{\lambda t}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} e^{2t}</math>
נראה שאין תקווה כי אי אפשר לבנות עוד פתרון כזה. אבל צריכים לחפש פתרון מהצורה <math>\vec{y}=e^{2t} \left( \begin{pmatrix} a\\c \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} b\\d \end{pmatrix} \right)</math>.
מצד אחד:
<math>\vec{y}'=\left[e^{2t} \begin{pmatrix} a+bt\\c+dt \end{pmatrix}\right] '=2e^{2t}\begin{pmatrix} a+bt\\c+dt \end{pmatrix}+e^{2t}\begin{pmatrix} b\\d \end{pmatrix}=e^{2t}\begin{pmatrix} 2a+2bt+b\\2c+2dt+d \end{pmatrix}</math>
ומצד שני:
<math>A \vec{y}=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0&2 \end{pmatrix}\left[ e^{2t} \begin{pmatrix} a+bt\\c+dt \end{pmatrix}\right]=e^{2t} \begin{pmatrix} 2a+2bt+c+dt\\ 2c+2dt\end{pmatrix}</math>
כדי לקבל שוויון ביניהם, נצטרך:
<math>c=b</math>
<math>d=0</math>
(<math>a</math> נשאר חופשי)
נציב זאת בניחוש ונקבל:
<math>\vec{y}_p=e^{2t} \left( \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} b\\0 \end{pmatrix}\right)=e^{2t} \begin{pmatrix} a+bt\\b \end{pmatrix}=a \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} e^{2t}+b \begin{pmatrix} t\\1 \end{pmatrix} e^{2t}=c_1 \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} e^{2t}+c_2 \begin{pmatrix} t\\1 \end{pmatrix} e^{2t}</math>
--[[משתמש:Michael|Michael]] 21:50, 22 בדצמבר 2011 (IST)