ואז ניתן לרשום:
<math>f(t)=2g(t)H(t)+-4g(t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2g(t-1)H(t-1)</math>
את התמרת הלפלס של g קל לחשב:
<math>\mathcal{L} \{y''\}=\mathcal{L} \{f \}</math>
<math>s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)=\mathcal{L} \{ 2g(t)H(t)+-4g(t-\frac{1}{2})H(t-\frac{1}{2})+2g(t-1)H(t-1) \}</math>
ע"פ תנאי ההתחלה אגף שמאל הוא בדיוק <math>s^2Y(s)</math>. כדי לחשב את אגף ימין נשתמש בלינאריות של התמרת לפלס, וניזכר בתכונה:
המשוואה היא:
<math>s^2Y(s)=2\mathcal{L} \{g(t) H(t) \}+-4\mathcal{L} \{g(t-\frac{1}{2}) H(t-\frac{1}{2}) \}+2 \mathcal{L} \{g(t-1) H(t-1) \}</math>
<math>s^2 Y(s)=2 e^{-0 s}G(s)+-4 e^{-\frac{1}{2} s} G(s)+2 e^{-1 s} G(s)</math>
<math>s^2 Y(s)=(2+-4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) G(s)</math>
<math>s^2 Y(s)=(2+-4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) \frac{1}{s^2}</math>
המשך יבוא..<math>Y(s)=(2-4 e^{-\frac{1}{2} s}+2 e^{-s}) \frac{1}{s^4}</math> <math>Y(s)=2\frac{1}{s^4}-4 e^{-\frac{1}{2} s}\frac{1}{s^4}+2 e^{-s}\frac{1}{s^4}</math> נפעיל התמרת לפלס הפוכה כדי לקבל את הפתרון: <math>y(t)=\mathcal{L}^{-1} \left\{ 2\frac{1}{s^4}-4 e^{-\frac{1}{2} s}\frac{1}{s^4}+2 e^{-s}\frac{1}{s^4} \right\}</math> ע"פ לינאריות ההתמרה ההפוכה: <math>y(t)=2\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s^4} \right\}-4\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-\frac{1}{2} s} \frac{1}{s^4} \right\}+2\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-s} \frac{1}{s^4} \right\}</math> לפי טבלת התמרת לפלס: <math>\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s^4} \right\}=\frac{t^3}{3!}=\frac{t^3}{6}</math> אם כן: <math>y(t)=2\frac{t^3}{6}-4 \frac{(t-\frac{1}{2})^3}{6}H \left(t-\frac{1}{2} \right)+2 \frac{(t-1)^3}{6} H(t-1)</math> וזהו הפתרון.ניתן לבדוק שהוא רציף וגזיר אפילו בנקודה הבעייתית <math>x=\frac{1}{2}</math> --[[משתמש:Michael|Michael]] 23:27, 31 בינואר 2012 (IST)