== ציונים ==
טבלת ציונים ניתן לראות [[מדיה:Galois2012Grades.xls|כאן]].
אם הגשתם באחור, יתכן והציון שלכם יתפרסם מאוחר יותר.
הציון באתר קובע. אם משום מה הציון שונה מהרשום לכם על התרגיל פנו למתרגל '''עם התרגיל'''.
== תרגיל 1 ==
נוסח התרגיל: [[מדיה:Galois2012Ex1.pdf|תרגיל 1]]
'''תיקון קל:''' בשאלה 3, הפולינום הוא <math>x^3+ax^2+bx+c</math> ולא <math>x^3+ax+bx+c</math>.
פיתרון: [[מדיה:Galois2012Ex2Sol.pdf|פיתרון תרגיל 2]]
== תרגיל 3 ==
יש להגיש את התרגיל '''בתחילת''' התרגול בתאריך 24.11.11.
פיתרון: [[מדיה:Galois2012Ex3Solution.pdf|פתרון תרגיל 3]]
== תרגיל 4 ==
יש להגיש את התרגיל '''בתחילת''' התרגול בתאריך 1.12.11. איחורים לא יתקבלו.
'''הבהרה:''' ב"חימום" אין צורך לפתור את התרגילים המופיעים בסיכום "שדות - תכונות בסיסיות".
פיתרון: [[מדיה:Galois2012Ex4Solution.pdf|פיתרון תרגיל 4]]
'''תזכורת:''' בשיעור הזכרנו את הדברים הבאים. אפשר (וכנראה כדאי) להשתמש בהם:
* אם <math>F\subseteq K\subseteq L</math> שדות אז <math>[L:F]</math> מתחלק ב-<math>[K:F]</math>. (הסבר: זה נובע מ-<math>[L:K]\cdot[K:F]=[L:F]</math>)
* בהנחות הנ"ל, אם <math>a\in L</math> אלגברי מעל <math>F</math> אז <math>[K[a]:K]\leq [F[a]:F]</math>.
* אם <math>f(x)\in F[x]</math> פולינום ו-<math>a_1,\ldots,a_n</math> הם השורשים של <math>f(x)</math> בשדה גדול המכיל את <math>F</math> אז שדה הפיצול של <math>f(x)</math> (מעל <math>F</math>) הוא <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math>.
* אם <math>p</math> ראשוני, אז הפולינום המינימלי של <math>\rho_p=\exp(2\pi i/p)</math> (שורש יחידה פרימיטיבי מסדר <math>p</math>) מעל <math>\mathbb{Q}</math> הוא <math>x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots+x+1</math>.
== תרגיל 5 ==
נוסח התרגיל: [[מדיה:Galois2012Ex5Sol.pdf|תרגיל 5]]
יש להגיש את התרגיל '''בתחילת''' התרגול בתאריך 8.12.11. איחורים לא יתקבלו.
פתרון: [[מדיה:Galois2012Ex5Solution.pdf|פתרון תרגיל 5]]
== תרגיל 6 ==
נוסח התרגיל: [[מדיה:Galois2012Ex6.pdf|תרגיל 6]]
יש להגיש את התרגיל '''בתחילת''' התרגול בתאריך 15.12.11.
'''תזכורת:''' הוכחתם (או לפחות הייתם אמורים להוכיח) את המשפט הבא בהרצאה:
יהיו <math>F,F'</math> שדות, <math>\psi:F\to F'</math> איזומורפיזם של שדות ו-<math>f(x)\in F[x]</math>. יהי <math>E</math> שדה פיצול של <math>f</math> מעל <math>F</math> ויהי <math>E'</math> שדה פיצול של <math>\psi(f)</math> מעל <math>F'</math>. אזי קיים איזומורפיזם של שדות <math>\Psi:E\to E'</math> כך ש-<math>\Psi|_F=\psi</math>.
'''פיתרון:''' [[מדיה:Galois2012Ex6Solution.pdf|פיתרון תרגיל 6]].
== תרגיל 7 ==
נוסח התרגיל: [[מדיה:Galois2012Ex7.pdf|תרגיל 7]]
יש להגיש את התרגיל '''בתחילת''' התרגול בתאריך 22.12.11.
'''שימו לב:''' הניסוח של שאלה 1 השתנה במעט ב-16.12.11 (יום ו) בשעה 10. אנא ודאו כי יש לכם את הניסוח העדכני. --[[משתמש:Ufirst|אוריה]] 10:14, 16 בדצמבר 2011 (IST)
'''הערה:''' בשלב זה של הקורס אין צורך להראות ש-<math>[\mathbb{Q}[\sqrt[n]{a}]:\mathbb{Q}]=n</math> עבור <math>a</math> שהוא ראשוני או מכפלה של ראשוניים ''שונים''.
'''פיתרון:''' [[מדיה:Galois2012Ex7Solution.pdf|פיתרון תרגיל 7]]
== תרגיל 8 ==
נוסח התרגיל: [[מדיה:Galois2012Ex8.pdf|תרגיל 8]]
יש להגיש את התרגיל '''בתחילת''' התרגול בתאריך 13.1.12. '''שימו לב שיש לכם שני תרגילים לשבועיים (גם את תרגיל 9).'''
'''הערה:''' סיכום על שדות סופיים תוכלו למצוא [[מדיה:FiniteFields.pdf|כאן]].
'''הערה:''' אפשר להשתמש בכל משפט מההרצאה בשיעורי הבית ובפרט, בטענה הבאה (שלמיטב זכרוני לא הזכרנו בשיעור):
'''טענה:''' אם <math>E/F</math> הרחבת גלואה ו-<math>G=Gal(E/F)</math>, אז <math>E^G=F</math> (באשר <math>E^G</math> הם האיברים <math>a\in E</math> המקיימים <math>\sigma a=a</math> לכל <math>\sigma\in G</math>).
'''פתרון:''' [[מדיה:Galois2012Ex8Solution.pdf|פתרון תרגיל 8]]
== תרגיל 9 ==
נוסח התרגיל: [[מדיה:Galois2012Ex9.pdf|תרגיל 9]]
יש להגיש את התרגיל '''בתחילת''' התרגול בתאריך 13.1.12. '''שימו לב שיש לכם שני תרגילים לשבועיים (גם את תרגיל 8).'''
פתרון: [[מדיה:Galois2012Ex9Solution.pdf|פתרון תרגיל 9]].
== תרגיל 10 ==
נוסח התרגיל: [[מדיה:Galois2012Ex10.pdf|תרגיל 10]]
יש להגיש את התרגיל '''בתחילת''' התרגול בתאריך 19.1.12.
'''הערה:''' אם <math>E/F</math> גלואה ממימד סופי ו-<math>H\leq Gal(E/F)</math> אז כדי להוכיח <math>F[a]=E^H</math> מספיק לבדוק ש-<math>a\in E^H</math> (כלומר, <math>a</math> יציב תחת אברי <math>H</math>, ולמעשה מספיק לבדוק על קבוצת יוצרים בלבד) ולבדוק ש-<math>[F[a]:F]=[Gal(E/F):H]</math>. '''הסבר:''' התנאי הראשון אומר ש-<math>F[a]\subseteq E^H</math>. לפי המשפט היסודי של תורת גלואה <math>[E^H:F]=[Gal(E/F):H]</math> ולכן נובע של-<math>E^H</math> ו-<math>F[a]</math> יש אותו מימד מעל <math>F</math>. היות ואחד מוכל באחר, הם שווים.
אנו נוכיח את זה בכל מקרה בתרגול הבא (ההוכחה די קצרה), אז יש לשלוח פתרונות רק עד תחילת התרגול בשבוע הבא.
'''פתרון:''' [[מדיה:Galois2012Ex10Solution.pdf|פתרון תרגיל 10]].
== תרגיל 11 ==
נוסח התרגיל [[מדיה:Galois2012Ex11.pdf|תרגיל 11]]
'''היו מספר טעויות קטנות בנוסח התרגיל (שאלה 1, שאלה 2 סעיף 2). הטעויות תוקנו. אנא ודאו כי בידכם הנוסח העדכני של התרגיל.''' --[[משתמש:Ufirst|אוריה]] 20:24, 23 בינואר 2012 (IST)
יש להגיש את התרגיל '''בתחילת''' התרגול בתאריך 26.1.12.
'''הערה:''' פטור מתרגיל 11 (כלומר ציון 100 ללא צורך בהגשה) ינתן ל'''שלושה הראשונים''' שישלחו לי הוכחה '''נכונה''' של מה ששכחתי איך להוכיח בכיתה: יהיו <math>F,K,F',K'</math> שדות כך ש-<math>F\subseteq K\subseteq K'</math> ו-<math>F\subseteq F'\subseteq K'</math>. נניח כי <math>K/F</math> ו-<math>K'/F'</math> הרחבות גלואה ממימד סופי ותהי <math>\psi:Gal(K'/F')\to Gal(K/F)</math> הומומורפיזם החבורות המוגדר ע"י <math>\psi(\sigma)=\sigma|_K</math> אזי <math>\mathrm{im}(\psi)=Gal(K/F'\cap K)</math>.
אנו נוכיח את זה בכל מקרה בתרגול הבא (ההוכחה לא ארוכה), אז הוכחות יש לשלוח רק עד אז.
'''פתרון:''' [[מדיה:Galois2012Ex11Solution.pdf|פתרון תרגיל 11]]
== תרגיל 12 ואחרון ==
נוסח התרגיל: [[מדיה:Galois2012Ex12.pdf|תרגיל 12]]
יש להגיש את התרגיל '''בתחילת''' התרגול בתאריך 1.2.12.
פתרון: [[מדיה:Galois2012Ex12Solution.pdf|פתרון תרגיל 12]]
== תרגילי חזרה ==
[[מדיה:Galois2012RehersalEx.pdf|תרגילי חזרה למבחן]].
לא יפורסמו פתרונות לתרגילי החזרה, אבל אתם יכולים לשאול עליהם שאלות.