יש להגיש את התרגיל '''בתחילת''' התרגול בתאריך 8.12.11. איחורים לא יתקבלו.
פתרון: [[מדיה:Galois2012Ex5Solution.pdf|פתרון תרגיל 5]]
== תרגיל 6 ==
יהיו <math>F,F'</math> שדות, <math>\psi:F\to F'</math> איזומורפיזם של שדות ו-<math>f(x)\in F[x]</math>. יהי <math>E</math> שדה פיצול של <math>f</math> מעל <math>F</math> ויהי <math>E'</math> שדה פיצול של <math>\psi(f)</math> מעל <math>F'</math>. אזי קיים איזומורפיזם של שדות <math>\Psi:E\to E'</math> כך ש-<math>\Psi|_F=\psi</math>.
'''פיתרון:''' [[מדיה:Galois2012Ex6Solution.pdf|פיתרון תרגיל 6]].
== תרגיל 7 ==
'''הערה:''' בשלב זה של הקורס אין צורך להראות ש-<math>[\mathbb{Q}[\sqrt[n]{a}]:\mathbb{Q}]=n</math> עבור <math>a</math> שהוא ראשוני או מכפלה של ראשוניים ''שונים''.
'''פיתרון:''' [[מדיה:Galois2012Ex7Solution.pdf|פיתרון תרגיל 7]]
== תרגיל 8 ==
נוסח התרגיל: [[מדיה:Galois2012Ex8.pdf|תרגיל 8]]
יש להגיש את התרגיל '''בתחילת''' התרגול בתאריך 13.1.12. '''שימו לב שיש לכם שני תרגילים לשבועיים (גם את תרגיל 9).'''
'''הערה:''' סיכום על שדות סופיים תוכלו למצוא [[מדיה:FiniteFields.pdf|כאן]].
'''הערה:''' אפשר להשתמש בכל משפט מההרצאה בשיעורי הבית ובפרט, בטענה הבאה (שלמיטב זכרוני לא הזכרנו בשיעור):
'''טענה:''' אם <math>E/F</math> הרחבת גלואה ו-<math>G=Gal(E/F)</math>, אז <math>E^G=F</math> (באשר <math>E^G</math> הם האיברים <math>a\in E</math> המקיימים <math>\sigma a=a</math> לכל <math>\sigma\in G</math>).
'''פתרון:''' [[מדיה:Galois2012Ex8Solution.pdf|פתרון תרגיל 8]]
== תרגיל 9 ==
נוסח התרגיל: [[מדיה:Galois2012Ex9.pdf|תרגיל 9]]
יש להגיש את התרגיל '''בתחילת''' התרגול בתאריך 13.1.12. '''שימו לב שיש לכם שני תרגילים לשבועיים (גם את תרגיל 8).'''
פתרון: [[מדיה:Galois2012Ex9Solution.pdf|פתרון תרגיל 9]].
== תרגיל 10 ==
נוסח התרגיל: [[מדיה:Galois2012Ex10.pdf|תרגיל 10]]
יש להגיש את התרגיל '''בתחילת''' התרגול בתאריך 19.1.12.
'''הערה:''' אם <math>E/F</math> גלואה ממימד סופי ו-<math>H\leq Gal(E/F)</math> אז כדי להוכיח <math>F[a]=E^H</math> מספיק לבדוק ש-<math>a\in E^H</math> (כלומר, <math>a</math> יציב תחת אברי <math>H</math>, ולמעשה מספיק לבדוק על קבוצת יוצרים בלבד) ולבדוק ש-<math>[F[a]:F]=[Gal(E/F):H]</math>. '''הסבר:''' התנאי הראשון אומר ש-<math>F[a]\subseteq E^H</math>. לפי המשפט היסודי של תורת גלואה <math>[E^H:F]=[Gal(E/F):H]</math> ולכן נובע של-<math>E^H</math> ו-<math>F[a]</math> יש אותו מימד מעל <math>F</math>. היות ואחד מוכל באחר, הם שווים.
אנו נוכיח את זה בכל מקרה בתרגול הבא (ההוכחה די קצרה), אז יש לשלוח פתרונות רק עד תחילת התרגול בשבוע הבא.
'''פתרון:''' [[מדיה:Galois2012Ex10Solution.pdf|פתרון תרגיל 10]].
== תרגיל 11 ==
נוסח התרגיל [[מדיה:Galois2012Ex11.pdf|תרגיל 11]]
'''היו מספר טעויות קטנות בנוסח התרגיל (שאלה 1, שאלה 2 סעיף 2). הטעויות תוקנו. אנא ודאו כי בידכם הנוסח העדכני של התרגיל.''' --[[משתמש:Ufirst|אוריה]] 20:24, 23 בינואר 2012 (IST)
יש להגיש את התרגיל '''בתחילת''' התרגול בתאריך 26.1.12.
'''הערה:''' פטור מתרגיל 11 (כלומר ציון 100 ללא צורך בהגשה) ינתן ל'''שלושה הראשונים''' שישלחו לי הוכחה '''נכונה''' של מה ששכחתי איך להוכיח בכיתה: יהיו <math>F,K,F',K'</math> שדות כך ש-<math>F\subseteq K\subseteq K'</math> ו-<math>F\subseteq F'\subseteq K'</math>. נניח כי <math>K/F</math> ו-<math>K'/F'</math> הרחבות גלואה ממימד סופי ותהי <math>\psi:Gal(K'/F')\to Gal(K/F)</math> הומומורפיזם החבורות המוגדר ע"י <math>\psi(\sigma)=\sigma|_K</math> אזי <math>\mathrm{im}(\psi)=Gal(K/F'\cap K)</math>.
אנו נוכיח את זה בכל מקרה בתרגול הבא (ההוכחה לא ארוכה), אז הוכחות יש לשלוח רק עד אז.
'''פתרון:''' [[מדיה:Galois2012Ex11Solution.pdf|פתרון תרגיל 11]]
== תרגיל 12 ואחרון ==
נוסח התרגיל: [[מדיה:Galois2012Ex12.pdf|תרגיל 12]]
יש להגיש את התרגיל '''בתחילת''' התרגול בתאריך 1.2.12.
פתרון: [[מדיה:Galois2012Ex12Solution.pdf|פתרון תרגיל 12]]
== תרגילי חזרה ==
[[מדיה:Galois2012RehersalEx.pdf|תרגילי חזרה למבחן]].
לא יפורסמו פתרונות לתרגילי החזרה, אבל אתם יכולים לשאול עליהם שאלות.